[논문 리뷰] A Lagrange-Galerkin scheme with a locally linearized velocity for the Navier--Stokes equations

Masahisa Tabata, Shinya Uchiumi|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 25.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 후진 오일러 방법에서 입자 궤적을 추적하기 위해 局소 선형화된 속도 근사치를 사용함으로써 수치적 적분 오차를 제거하는 새로운 라그랑주-갈레르킨 유한요소 스킴을 제안한다. 이 스킴은 정확한 구현을 보장하여, $ℓ^{∞}(H^{1})\timesℓ^{2}(L^{2})$ 오차 추정치를 갖는 안정적이고 최적 수렴성을 보장하는 결과를 이끌어낸다. 이는 $π_{2}/π_{1}$ 및 $π_{1}^{+}/π_{1}$ 요소 모두에 대해 성립한다.

ABSTRACT

We present a Lagrange--Galerkin scheme free from numerical quadrature for the Navier--Stokes equations. Our idea is to use a locally linearized velocity and the backward Euler method in finding the position of fluid particle at the previous time step. Since the scheme can be implemented exactly as it is, the theoretical stability and convergence results are assured. While the conventional Lagrange--Galerkin schemes may encounter the instability caused by numerical quadrature errors, the present scheme is genuinely stable. For the $\pk 2/\pk 1$- and $\mini$-finite elements optimal error estimates are proved in $\ell^\infty(H^1) imes \ell^2(L^2)$ norm for the velocity and pressure. We present some numerical results, which reflect these estimates and also show the genuine stability of the scheme.

연구 동기 및 목표

• 복합 함수 항을 적분할 때 발생하는 수치적 적분 오차로 인해 기존의 라그랑주-갈레르킨 스킴에서 발생하는 불안정성을 해결하기 위해.
• 수치적 통합에 의존하지 않고도 방법을 정확히 구현할 수 있는 스킴을 개발하기 위해.
• 실제 유한요소 메esh에 대한 자연스러운 노름에서 속도 및 압력에 대해 최적 수렴 속도를 증명하기 위해.
• 고 레이놀즈 수 유동에서의 안정성 확보를 위해, 기존 스킴이 진동으로 인해 실패하는 경우가 많기 때문이다.

제안 방법

• 입자 궤적을 위한 ODE 시스템의 정확한 해를 대체하기 위해 국소 선형화된 속도 근사치를 도입하기 위해.
• 이전 시간 단계에서 특성 곡선의 발을 국소 선형화된 속도를 사용하여 후진 오일러 방법으로 계산하기 위해.
• 근사 궤적 매핑을 사용하여 특성 방법을 적용한 나비에-스토크스 방정식의 약한 형태를 구성하기 위해.
• $\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ 및 $\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$ 유한요소를 각각 속도 및 압력에 사용하여 스킴을 구현하기 위해.
• 근사 속도 매핑의 조각별 선형 구조를 활용하여 모든 항을 정확히 통합하기 위해.
• $\ell^{\infty}(H^{1})\times\ell^{2}(L^{2})$ 노름에서 속도 및 압력에 대해 최적 오차 추정치를 유도하고 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수치적 적분 오차를 피하면서도 최적 수렴 속도를 유지하는 라그랑주-갈레르킨 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 후진 오일러 방법에서 국소 선형화된 속도를 사용하면 대류 지배 나비에-스토크스 유동에 대해 안정적이고 정확한 스킴을 얻을 수 있는가?
• RQ3 $\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ 및 $\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$ 요소에 대해 $\ell^{\infty}(H^{1})$ 및 $\ell^{2}(L^{2})$ 노름에서 제안된 스킴의 수렴 차수는 얼마인가?
• RQ4 표준 라그랑주-갈레르킨 스킴과 비교했을 때, 고 레이놀즈 수 흐름에서 이 스킴은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 레이놀즈 수가 높은 경우에도 벤치마크 문제인 리드된 캐비티 유동에서 이 스킴은 진동 없이 안정성과 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\mathrm{P}_{2}/\mathrm{P}_{1}$ 및 $\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$ 요소에 대해 $\Delta t = h^2$ 조건 하에서 속도에 대해 $\ell^{\infty}(H^{1})$ 노름에서 $O(h^2)$의 최적 수렴 속도를 달성한다. 압력에 대해서는 $\ell^{2}(L^{2})$ 노름에서 동일한 수렴 속도를 보인다.
• $\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$ 요소의 경우, $\Delta t = h^2$ 조건 하에서 속도에 대해 $\ell^{\infty}(L^{2})$ 노름에서 $O(h^2)$ 수렴 속도를 달성한다.
• $\Delta t = h^3$ 조건에서 $\mathrm{P}_{1}^{+}/\mathrm{P}_{1}$ 케이스에서 속도에 대해 $\ell^{\infty}(L^{2})$ 노름에서 $O(h^3)$ 수렴 속도를 달성하여 이론적 기대를 확인한다.
• 수치 실험 결과는 스킴이 고 레이놀즈 수($\nu = 10^{-4}$ 및 $10^{-5}$)에서도 안정적이고 진동이 없음을 확인한다. 반면 표준 스킴은 비정상적인 진동을 보였다.
• 리드된 캐비티 유동 문제에서 스킴은 $\nu = 10^{-4}$ 및 $10^{-5}$ 조건에서 $t^n = 8$ 시점에서도 속도 성분에 대해 안정성 또는 진동을 관측하지 못했다.
• 수치 결과에서 관측된 수렴 차수는 이론적 예측과 매우 유사하여 오차 추정치의 타당성을 검증한다.