[논문 리뷰] A Lagrangian fluctuation-dissipation relation for scalar turbulence

Theodore D. Drivas, Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 소산과 뒤로 추적된 궤적에 의해 샘플링된 스칼라 입력의 분산을 연결하는 정확한 라그랑주 변동-소산관계를 유도하여, 난류 흐름에서 이질적 스칼라 소산이 입자 궤적의 자발적 확률성에 의해 필요로 함을 증명한다. 벽이 없는 조건에서, 능동 스칼라에 대해 자발적 확률성과 이질적 소산이 완전히 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

An exact is derived between scalar dissipation due to molecular diffusivity and the randomness of stochastic trajectories for flows without bounding walls. This Lagrangian fluctuation-dissipation relation equates the scalar dissipation for either passive or active scalars to the variance of scalar inputs associated to initial scalar values and internal scalar sources, as those are sampled backward in time by the stochastic trajectories. As an important application, we reconsider the phenomenon of Lagrangian spontaneous or persistent non-determinism of particle trajectories in the limit of vanishing viscosity and diffusivity. Previous work on the Kraichnan (1968) model of turbulent scalar advection has shown that anomalous scalar dissipation is associated in that model to spontaneous stochasticity. There has been controversy, however, regarding the validity of this mechanism for scalars advected by an actual turbulent flow. We here completely resolve this controversy by exploiting the fluctuation-dissipation relation. For either a passive or active scalar advected by any divergence-free velocity field, including solutions of the incompressible Navier-Stokes equation, and away from walls, we prove that anomalous scalar dissipation requires spontaneous stochasticity. For passive scalars we prove furthermore that spontaneous stochasticity yields anomalous dissipation for suitable initial scalar distributions, so that the two phenomena are there completely equivalent. These points are illustrated by numerical results from a database of homogeneous, isotropic turbulence, which provide both additional support to the results and physical insight into the representation of diffusive effects by stochastic particle trajectories.

연구 동기 및 목표

• 벽이 없는 난류 흐름에서 스칼라 소산과 라그랑주 궤적 통계 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 실제 난류 흐름에서 자발적 확률성이 이질적 스칼라 소산을 설명하는지에 대한 오랫동안 지속된 논란을 해결하기 위해.
• 능동 스칼라에 대해 자발적 확률성과 이질적 소산이 동치임을 보여주기 위해.
• 균일하고 등방성 난류의 수치 시뮬레이션을 통해 메커니즘을 검증하기 위해.

제안 방법

• 스칼라 소산과 뒤로 추적된 초기 및 소스 스칼라 값의 분산을 연결하는 정확한 라그랑주 형태의 변동-소산관계를 유도한다.
• 발산이 없는 속도장에 의해 이동하는 능동 및 능동 스칼라에 이 관계를 적용하며, 나비에-스토크스 방정식의 해를 포함한다.
• 확률적 입자 궤적을 사용하여 확산 효과를 표현하고, 스칼라 입력을 시간 역행으로 샘플링한다.
• 이질적 스칼라 소산이 가능하려면 점성과 확산계수가 0인 극한에서 입자 궤적이 자발적 확률성을 보여야 한다는 것을 증명한다.
• 적절한 초기 조건 하에서 능동 스칼라에 대해 자발적 확률성과 이질적 소산이 동치임을 보여준다.
• 균일하고 등방성 난류 데이터베이스에서의 수치 데이터를 사용하여 이론을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 난류 흐름에서 입자 궤적의 자발적 확률성이 이질적 스칼라 소산을 설명하는가?
• RQ2 카라이찬 모델을 초월하여 자발적 확률성을 통한 이질적 소산 메커니즘이 유효한가?
• RQ3 라그랑주 변동-소산관계를 사용하여 이질적 소산의 필요 조건을 증명할 수 있는가?
• RQ4 능동 스칼라에 대해 자발적 확률성과 이질적 소산은 동치인가?
• RQ5 확률적 입자 궤적은 난류 스칼라 운반에서 확산 효과를 어떻게 표현하는가?

주요 결과

• 벽이 없는 난류 흐름에서 이질적 스칼라 소산은 입자 궤적이 점성의 극한에서 자발적 확률성을 보일 때에만 가능하다.
• 능동 스칼라에 대해 적절한 초기 스칼라 분포 하에서 자발적 확률성과 이질적 소산은 완전히 동치이다.
• 유도된 변동-소산관계는 궤적 통계에 기반하여 이질적 소산의 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 균일하고 등방성 난류의 수치 시뮬레이션은 이론적 예측을 확인하고, 확률적 궤적이 확산 효과를 포착하는 데서의 역할을 설명한다.
• 관계는 능동 및 능동 스칼라에 대해 발산이 없는 모든 속도장, 특히 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 해에 대해 유효하다.
• 결과적으로 이전의 논란을 해결하여, 자발적 확률성이 카라이찬의 이상화된 모델의 특성에만 국한되지 않고 실제 난류 흐름에서 기본적인 요구 조건임을 입증한다.