[논문 리뷰] A Landscape of Hamiltonian Phase Spaces: on the foundations and generalizations of one of the most powerful ideas of modern science

Carlos Zapata-Carratalá|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 77인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 물리적 차원을 선형 배럴과 차원이 있는 대수학을 통해 형식론에 직접 통합함으로써, 양의 단위가 없는 기하학적 프레임워크를 도입하여 고전역학을 재해석한다. 자코비 다양체와 접촉 다양체를 편의적인 파생물로 재해석함으로써, 파울리-포아송 및 심플렉틱 기하학의 차원이 있는 대응체로 간주한다. 주요 기여는 단위가 없는 구성 공간(선형 배럴)에서 접촉 위상공간으로의 사상으로 작용하는 해밀턴 함자를 통한 카테고리적 해밀턴 역학의 제안으로, 이는 물리적 차원이 명시적으로 일관되게 유지되는 운동론 이론을 실현한다.

ABSTRACT

In this thesis we revise the concept of phase space in modern physics and devise a way to explicitly incorporate physical dimension into geometric mechanics. A historical account of metrology and phase space is given to illustrate the disconnect between the theoretical physical models in use today and the formal treatment of units of measurement. Self-contained presentations of local Lie algebras, Lie algebroids, Poisson manifolds, line bundles and Jacobi manifolds are given. A unit-free manifold is defined as a generic line bundle over a smooth manifold that we interpret as a manifold whose ring of functions no longer has a preferred choice of a unit. This point of view allows us to implement physical dimension into geometric mechanics. Unit-free manifolds are shown to share many of the core structure of the category of ordinary smooth manifolds: Cartesian products, derivations as tangent vectors, jets as cotangent vectors, submanifolds and quotients. This allows to reinterpret the notion of Jacobi manifold as the unit-free analogue of Poisson manifolds. With this new language we rediscover known results about Jacobi maps, coisotropic submanifolds, Jacobi products and Jacobi reduction. We give a categorical formulation of the loose term 'canonical Hamiltonian mechanics' by defining the notions of theory of phase spaces and Hamiltonian functor. Conventional configuration spaces are then replaced by line bundles, called unit-free configuration spaces, and, they are shown to fit into a theory of phase spaces with a Hamiltonian functor given by the jet functor. Motivated by the algebraic structure of physical quantities in dimensional analysis, we define dimensioned groups, rings, modules and algebras by implementing an addition operation that is partially defined. Jacobi manfolds are shown to have associated dimensioned Poisson algebras and dimensioned coisotropic calculus.

연구 동기 및 목표

• 이론적 역학과 차원 분석에서의 실용적 단위 사용 간의 기초적 괴리 문제를 해결하기 위해.
• 위상공간의 형식론에 물리적 차원을 내재적으로 통합하는 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 단위가 없는 구성 공간과 해밀턴 함자를 사용하여 표준 해밀턴 역학을 재구성하기 위해.
• 차원이 있는 링과 대수학을 도입함으로써 물리적 양에 대한 카테고리적이고 대수학적 기초를 마련하기 위해.
• 자코비 기하학이 포아송 기하학의 단위가 없는 대응체임을 규명함으로써, 해밀턴 역학을 차원이 있는 관측 가능 양을 포함하도록 일반화하기 위해.

제안 방법

• 물리적 단위가 없는 선형 배럴로 정의된 단위가 없는 다양체의 개념을 도입한다.
• 단위가 없는 다양체를 위한 완전한 기하학적 미적분을 개발한다. 이는 카르테시안 곱, 미분과 임펄스를 통한 접선 및 코접선 구조, 군 작용 하의 몫 등을 포함한다.
• 단위가 없는 구성 공간(선형 배럴)에서 접촉 다양체로 사상하는 해밀턴 함자를 정의한다. 이는 전통적 역학에서의 코타angent 배럴 함수를 일반화한다.
• 유사한 차원 간에만 덧셈이 허용되는 물리적 양을 모델링하기 위해 부분적으로 정의된 덧셈을 가진 차원이 있는 대수학을 구성하고, 차원이 있는 포아송 대수학을 기초로 삼는다.
• 자코비 다양체가 자연스럽게 차원이 있는 포아송 대수학의 차수 −1에 해당함을 보여, 자코비 다양체가 포아송 다양체의 단위가 없는 대응체임을 규명한다.
• 선형 배럴 위의 잠재력 함수를 사용하여 차원이 있는 포아송 구조와 자코비 구조 사이의 대응 관계를 수립함으로써 새로운 기하학적 통찰을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 단위에 의존하지 않고도 물리적 차원을 위상공간의 기하학적 구조에 공식적으로 통합할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 기하학과 포아송 기하학의 단위가 없는 일반화가 차원 분석을 자연스럽게 통합할 수 있는가?
• RQ3 표준 해밀턴 형식론을 물리적 차원을 존중하는 카테고리적 프레임워크로 재구성할 수 있는가?
• RQ4 차원이 있는 대수학의 형식론 내에서 자코비 다양체가 포아송 다양체의 자연스러운 차원이 있는 대응체로 나타나는가?
• RQ5 물리적 시스템의 역학을 단위가 없는 기하학적 설정에서 일관되게 기술할 수 있으며, 고전역학의 운동학적 구조를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 배럴로 정의된 단위가 없는 구성 공간은 차원이 있는 역학에서 구성 공간의 자연스러운 기하학적 배경을 제공한다.
• 단위가 없는 구성 공간의 제트 배럴은 자연스럽게 접촉 구조를 지니며, 이는 접촉 해밀턴 역학의 표준적 제안을 가능하게 한다.
• 자코비 다양체는 차수 −1의 차원이 있는 포아송 대수학과 동형임을 보여, 자코비 다양체가 포아송 다양체의 단위가 없는 대응체임을 규명한다.
• 해밀턴 함자는 단위가 없는 구성 공간(선형 배럴)에서 접촉 위상공간으로 사상함으로써, 전통적 역학에서의 코타angent 배럴 함수의 일반화를 실현한다.
• 부분적으로 정의된 덧셈을 가진 차원이 있는 대수학은 물리적 양을 엄밀하게 모델링할 수 있으며, 차원이 있는 포아송 대수학은 자코비 구조를 특수한 경우로 복원한다.
• 이 형식론은 선형 배럴의 집합에 대한 차원이 있는 포아송 대수학이라는 새로운 기하학적 구조를 시사하며, 이는 단일 선형 배럴을 초월한 자코비 기하학의 일반화 가능성을 열어 놓는다.