[논문 리뷰] A Large Scale Comparison of Tetrahedral and Hexahedral Elements for Finite Element Analysis

Teseo Schneider, Yixin Hu외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 22.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 90인용 수 9

한 줄 요약

이 연구는 다양한 3D 기하구조에 대해 최신의 메시 생성 도구를 사용하여 비구조적 타트라헤드론 메시와 구조적 헕셀레드론 메시를 생성함으로써, 타트라헤드론 요소와 헕셀레드론 요소를 대규모 벤치마크에서 비교한다. 연구 결과, 타트라헤드론 요소 중 2차 요소가 타원형 PDE를 해결하는 데서 항상 헕셀레드론 요소를 능가하는 것으로 나타나, 일반적인 공학 문제에서는 자동으로 헕셀레드론 메시를 생성하는 것이 종종 불필요하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

The Finite Element Method (FEM) is widely used to solve discrete Partial Differential Equations (PDEs) in engineering applications. The popularity of FEM led to the development of a large family of variants, and, while their theoretical properties (such as convergence rate, stability, etc.) are understood well, their practical performance have not been systematically studied for large collections of automatically meshed 3D geometry. We introduce a set of benchmark problems, starting from simple cases with an analytical solution, moving to commonly used test problem setups, and finally fabricating solutions for thousands of real-world, automatically meshed geometries. For all these cases, we use state-of-the-art meshing tools to create both unstructured (tetrahedral) and structured (hexahedral) meshes, and compare the performance of different element types for a wide spectrum of elliptic PDEs ranging from heat diffusion to fluid propagation. We observe that, while linear tetrahedral elements perform poorly, often leading to locking artefacts, quadratic tetrahedral elements outperform hexahedral elements in all settings we tested. This observation suggests that for most problems in static structural analysis, thermal analysis, and low reynolds number flows, it is unnecessary to target automatic hex mesh generation, since high-quality results can be obtained with unstructured meshes, which can be created robustly and automatically with existing meshing algorithms. We released the description of the benchmark problems, meshes, and reference implementation of our testing infrastructure. This enables statistically significant comparisons between different FE methods, which we believe will provide a guide in the development of new meshing and FEA techniques.

연구 동기 및 목표

• 다양한 3D 기하구조에서 타트라헤드론 요소와 헕셀레드론 요소의 실용적 성능을 체계적으로 평가하기 위해.
• 실제 문제에서 자동으로 메시화된 상황에서 헕셀레드론 요소가 타트라헤드론 요소보다 유의미한 이점을 제공하는지 평가하기 위해.
• 실제로 자동 생성된 메시를 사용하여 FEM 방법을 비교하기 위한 통계적으로 유의미한 벤치마크를 수립하기 위해.
• 모든 벤치마크 데이터(메시 및 기준 해)와 함께 테스트 인fra구조를 공개함으로써, 향후 메시 생성 및 FEA 기법의 개발을 안내하기 위해.

제안 방법

• 연구는 분석적 해에서부터 수천 개의 실제 자동 메시화된 3D 기하구조에 이르기까지 다양한 범위의 메시 벤치마크 세트를 구성한다.
• 각 기하구조에 대해 최신의 메시 생성 도구를 사용하여 비구조적 타트라헤드론 메시와 구조적 헕셀레드론 메시를 생성한다.
• 열 확산, 구조역학, 저레이놀즈 수 유체 흐름을 포함한 다양한 타입의 타원형 PDE를 두 요소 유형을 사용하여 해결한다.
• 모든 테스트 케이스에서 선형 및 2차 타트라헤드론 요소와 헕셀레드론 요소의 성능을 비교한다.
• 재현 가능性和 향후 비교를 위해 테스트 인프라와 모든 벤치마크 데이터(메시 및 기준 해)를 공개한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 자동 메시화된 3D 문제에서 헕셀레드론 요소가 타트라헤드론 요소보다 더 높은 정확도를 제공하는가?
• RQ2 다양한 PDE와 기하구조에서 선형 및 2차 타트라헤드론 요소는 헕셀레드론 요소 대비 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ3 실제 공학 시뮬레이션에서 성능 향상에 비해 자동 헕셀레드론 메시 생성의 계산 비용과 복잡성은 정당한가?
• RQ4 2차 타트라헤드론 요소는 정적 구조, 열, 유체 흐름 분석에서 일관되게 헕셀레드론 요소를 능가할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 타트라헤드론 요소는 잠금 현상(locking artifacts)을 보이며, 많은 테스트 케이스에서 열악한 성능을 보인다.
• 2차 타트라헤드론 요소는 모든 테스트 설정에서(구조 분석, 열 분석, 저레이놀즈 수 흐름 시뮬레이션 포함) 헕셀레드론 요소를 능가한다.
• 2차 타트라헤드론 요소와 헕셀레드론 요소 간의 성능 격차는 전체 벤치마크 세트에서 일관되게 나타나, 2차 타트라헤드론 요소에 대한 강력한 우월성이 있음을 시사한다.
• 결과는 비구조적 타트라헤드론 메시를 사용함으로써 고성능 시뮬레이션 결과를 신뢰성 있게 확보할 수 있으며, 이는 자동으로 생성하기가 더 쉽고 더 견고하다는 것을 시사한다.