[논문 리뷰] A Lasserre-based $(1+\varepsilon)$-approximation for $Pm \mid p_j=1, extrm{prec} \mid C_{\max}$.

Elaine Levey, Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 25.

Optimization and Search Problems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$ 스케줄링 문제에 대해 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 라운드의 Lasserre 계층 구조 상향식 변환을 사용하여 $(1+\varepsilon)$-근사 알고리즘을 제시한다. 이는 시간 복잡도 $n^{O(r)}$ 내에서 $(1+\varepsilon)$-근사 해를 달성한다. 이는 이전의 다항 시간 복잡도 한계를 향상시키며, 특히 $m=3$인 경우에 유의미한 개선을 보이며, 근사 알고리즘에서 계층 구조 방법의 유용성을 입증한다.

ABSTRACT

In a classical problem in scheduling, one has $n$ unit size jobs with a precedence order and the goal is to find a schedule of those jobs on $m$ identical machines as to minimize the makespan. It is one of the remaining four open problems from the book of Garey & Johnson whether or not this problem is $\mathbf{NP}$-hard for $m=3$. We prove that for any fixed $\varepsilon$ and $m$, a Sherali-Adams / Lasserre lift of the time-index LP with a slightly super poly-logarithmic number of $r = (\log(n))^{\Theta(\log \log n)}$ rounds provides a $(1 + \varepsilon)$-approximation. This implies an algorithm that yields a $(1+\varepsilon)$-approximation in time $n^{O(r)}$. The previously best approximation algorithms guarantee a $2 - \frac{7}{3m+1}$-approximation in polynomial time for $m \geq 4$ and $\frac{4}{3}$ for $m=3$. Our algorithm is based on a recursive scheduling approach where in each step we reduce the correlation in form of long chains. Our method adds to the rather short list of examples where hierarchies are actually useful to obtain better approximation algorithms.

연구 동기 및 목표

• Garey & Johnson의 저서에서 제기된 열린 문제인 $P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$가 NP-난이도인지 여부를 해결하기 위해.
• 고정된 $m$과 $\varepsilon > 0$에 대해 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$에 대한 $(1+\varepsilon)$-근사 알고리즘을 설계하기 위해.
• 이전의 선형계획법(LP) 근사가 강한 근사 보장을 도출하지 못하는 스케줄링 문제에서 Lasserre 계층 구조의 효과성을 입증하기 위해.
• 순차적 스케줄링 전략을 통해 장기간의 순서 제약 체인을 줄여 상관관계를 감소시키고 근사 품질을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 스케줄링 문제에 대한 시간 색인 선형계획법 근사의 Sherali-Adams / Lasserre 계층 구조 상향식 변환을 활용한다.
• 순차적 상향식 변환에 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 라운드를 적용하여 LP 근사를 강화함으로써 순서 제약 조건 간의 고차원 상관관계를 포착한다.
• 알고리즘은 장기간의 순서 그래프 체인을 점진적으로 줄이는 순차적 스케줄링 전략을 적용한다.
• 체인들을 반복적으로 분해함으로써 작업 간 상관관계를 감소시켜 제작기간에 대한 더 날카운 경계를 가능하게 한다.
• 최종 해는 상향식 LP에서 유도되며, 임의의 고정된 $\varepsilon > 0$ 및 $m \geq 3$에 대해 $(1+\varepsilon)$-근사 보장을 보장한다. 실행 시간은 $n^{O(r)}$이다.
• 장기간의 체인이 강력한 근사 보장을 방해하는 주요 원인임을 관찰하고, 계층 구조 상향식 변환을 통해 이를 줄임으로써 성능 향상을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $m$에 대해 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$에 대해 Lasserre 계층 구조를 효과적으로 활용하여 $(1+\varepsilon)$-근사 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 Lasserre 계층의 초다항 로그 수준의 라운드 수가 장기간의 순서 제약 체인을 끊고 일정 요율 근사 해를 달성하는 데 충분한가?
• RQ3 이 접근 방식은 $P3 \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$의 열린 복잡도 상태를, 초지수 시간 내에 거의 최적의 근사 해를 제공함으로써 해결할 수 있는가?
• RQ4 스케줄링 문제에서 순서 제약 조건이 존재할 때, 계층 구조 상향식 변환은 기존의 선형계획법 근사보다 얼마나 향상되는가?
• RQ5 상향식 변환을 통해 감소시킬 수 있는 구조적 특성(예: 체인 길이)이 강력한 근사 보장을 제공하는가?

주요 결과

• Lasserre 계층 구조에 $r = (\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ 라운드를 적용하면, 임의의 고정된 $m$과 $\varepsilon > 0$에 대해 $Pm \mid p_j=1, \textrm{prec} \mid C_{\max}$에 대해 $(1+\varepsilon)$-근사 해를 도출할 수 있다.
• 이 알고리즘은 시간 복잡도 $n^{O(r)} = n^{O((\log n)^{\Theta(\log \log n)})}$로 실행되며, 이는 초지수적이지만 다항 시간보다는 빠른 복잡도이다.
• $m=3$인 경우 이는 이전에 다항 시간 내에서 확보된 최선의 근사 비율인 $\frac{4}{3}$를 향상시킨다.
• 이 방법은 순차적 분해를 통해 장기간의 체인에서의 상관관계를 효과적으로 감소시켜 더 날카운 LP 경계를 가능하게 한다.
• 이 작업은 Lasserre 계층 구조가 기존의 조합적 알고리즘보다 더 좋은 근사 성능을 제공하는 드문 사례 중 하나를 제공한다.
• 결과적으로 계층 기반 방법이 이론적 분석을 넘어서 스케줄링 문제에서 실질적으로 효과적일 수 있음을 입증한다.