[논문 리뷰] A Lazer-McKenna type problem with measures

Luigi Orsina, Francesco Petitta|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 11.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 12인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 측도 자료를 가진 특이 타원형 딜리클레 문제의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 특히 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$ in $\Omega$에서 $\mu$는 $q(\gamma)$-용적에 관하여 분산된 비음성 유계 라돈 측도이다. 저자들은 국소적 하향 바리에이션을 구성하고 단조 수렴을 이용하여 $\gamma > 0$에 대해 존재성을 증명하며, $\gamma \geq 1$에 대해 카토 유형 부등식과 약한 최대원리에 의해 유일성을 확립한다. 이는 $L^p$ 자료를 초월하여 일반적인 분산 측도로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we are concerned with a general singular Dirichlet boundary value problem whose model is the following $$ \begin{cases} -Δu = \fracμ{u^γ} & ext{in}\ Ω, u=0 & ext{on}\ \partialΩ, u>0 & ext{on}\ Ω\,. \end{cases} $$ Here $μ$ is a nonnegative bounded Radon measure on a bounded open set $Ω\subset\mathbb{R}^N$, and $γ>0$.

연구 동기 및 목표

• 측도 $\mu$가 $q(\gamma)$-용적에 관하여 분산된 라돈 측도일 때, 특이 타원형 문제 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$의 해 존재성을 확립하는 것.
• 유계 함수의 단조 수열이 아닌 경우 측도 자료를 근사화하는 데 어려움이 있을 때, 근사 문제에 대한 국소적 하향 바리에이션을 구성함으로써 도전 과제를 해결하는 것.
• $L^p$ 자료를 초월하여 일반적인 분산 측도, 특히 르베그 측도에 관하여 특이한 측도로 존재 결과를 확장하는 것.
• $\gamma \geq 1$에 대해 $H^1_{\rm loc}$ 해의 맥락에서 카토 유형 부등식과 약한 최대원리를 사용하여 일반적인 유일성 결과를 증명하는 것.
• 기존 결과에 대한 단순화된 증명을 제공함으로써 단조성 논증을 피하고 바리에이션 구성에 의존하는 것.

제안 방법

• 해의 특이항 $1/u^\gamma$에 대한 점별 제어를 가능하게 하기 위해 균일한 하방 유계성을 확보하기 위해 근사해에 대한 국소적 하향 바리에이션을 구성하는 것.
• 특이성을 다루기 위해 $\mu_n$과 $u_n$이 $-\Delta u_n = \mu_n / (u_n + 1/n)^\gamma$ in $\Omega$, $u_n = 0$ on $\partial\Omega$를 만족하는 근사 문제의 수열을 사용하는 것.
• 측도 $\mu$가 르베그 측도에 관하여 특이할 경우를 다루기 위해 달 마소와 바라스-피에르의 단조 수렴을 분산 측도에 적용하는 것.
• 용적 이론을 활용하여 $q(\gamma)$-용적을 통해 분산 측도의 클래스를 특성화하여 측도가 영용적 집합을 가질 수 없도록 보장하는 것.
• 비선형 항 $\mu / u^\gamma$에서 극한을 취하기 위해 $W^{1,q(\gamma)}_0(\Omega)$에서의 약한 수렴과 $L^\infty$-약한* 수렴을 사용하는 것.
• $\gamma \geq 1$에 대해 $w = u - v$에 대해 카토 유형 부등식 $-\Delta w^+ \leq 0$를 유도하고 약한 최대원리를 적용하여 $w^+ = 0$을 도출함으로써 유일성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 $\mu$가 어떤 조건을 만족할 경우, $\mu$가 어떤 $p \geq 1$에 대해 $L^p$에 속하지 않을 때도 특이 문제 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$가 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 측도 $\mu$가 르베그 측도에 관하여 특이하더라도 $q(\gamma)$-용적에 관하여 분산된 경우, 이러한 특이 측도 $\mu$에 대해 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 측도 자료가 있을 때, 근사 함수의 단조 수열에 의존하지 않고 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 용적 이론은 이러한 특이 문제에 대해 허용 가능한 측도 자료의 클래스를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\gamma \geq 1$일 때, 르베그 측도에 관하여 특이한 분산 측도 자료가 있을 경우 해는 유일한가?

주요 결과

• 모든 $\gamma > 0$에 대해 $\mu$가 $q(\gamma)$-용적에 관하여 분산된 비음성 유계 라돈 측도일 경우 문제 $-\Delta u = \mu / u^\gamma$는 해를 가진다. 여기서 $q(\gamma) = \frac{N(\gamma+1)}{N+\gamma}$이다.
• 해는 $W^{1,q(\gamma)}_0(\Omega)$에 속하며 $\Omega$ 거의 everywhere에서 양수이며, 특이항 $\mu / u^\gamma$는 약한 수렴의 의미에서 잘 정의되어 있다.
• $\gamma \geq 1$일 경우, 해는 $H^1_{\rm loc}(\Omega)$ 함수의 범주에서 유일하며, 카토 유형 부등식과 약한 최대원리를 통해 증명된다.
• 기존의 단조성 논증을 피하고 바리에이션 구성에 의존함으로써 비특이 측도에 대해 존재성 결과의 단순화된 증명을 제공한다.
• 해가 존재하지 않는다는 점에서 결과가 날카롭게 확보되며, $q(\gamma)$-용적이 0인 집합을 측도가 가질 경우 해가 존재하지 않음을 확인함으로써 분산 조건의 必要성 확인.
• $\gamma < 1$에 대해서도 $H^1_{\rm loc}(\Omega)$ 해에 대해 유일성 결과가 확장되며, 이러한 해가 존재한다면 그 해는 유일함을 시사한다.