[논문 리뷰] A Levy-area between Brownian motion and rough paths with applications to robust non-linear filtering and RPDEs

Joscha Diehl, Harald Oberhauser외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 결정론적 기하학적 난류 경로와 브라운 운동 사이의 표준 연합 난류 경로 리프트를 수립하여, 브라운 운동과 난류 경로 양자 모두에 의해 구동되는 하이브리드 확률미분방정식의 엄밀한 수식화를 가능하게 한다. 해의 매핑이 국소 리프시츠 연속임을 증명하고, 연합 리프트에 대한 가우시안 尾 꼬리 추정을 도출함으로써, 균일한 적분 가능성 유계를 갖는 강력한 비선형 필터링과 RPDE의 점도 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We give meaning to differential equations with a rough path term and a Brownian noise term as driving signals. Such differential equations as well as the question of regularity of the solution map arise naturally and we discuss two applications: one revisits Clark's robustness problem in nonlinear filtering, the other is a Feynman--Kac type representation of linear RPDEs. En passant, we give a short and direct argument that implies integrability estimates for rough differential equations with Gaussian driving signals which is of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 두 난류 경로에 대한 일반적인 연합 리프트가 존재하지 않음에도 불구하고, 결정론적 난류 경로와 브라운 운동 사이의 표준 연합 난류 경로 리프트를 정의하는 것.
• 벡터장의 비자명한 리 브라켓을 가질 경우에도, 브라운 운동과 난류 경로 양자 모두에 의해 구동되는 하이브리드 SDE에 의미를 부여하는 것.
• 난류 경로 공간에서 적응 확률과정 공간으로의 해 매핑의 국소 리프시츠 연속성을 $L^q$ 노름 하에 증명하는 것.
• 가우시안 신호에 의해 구동되는 난류 미분방정식에 대한 통합 추정을 재검토하고 강화하여, 난류 경로 매개변수에 대해 균일한 가우시안 尾 꼬리 유계를 증명하는 것.

제안 방법

• 이토 적분 근사에 의해 구성된, 결정론적 단계-2 난류 경로 $\boldsymbol{\eta}$ 와 브라운 운동 $B$ 사이의 표준 연합 리프트로 불리는 스토케스틱 과정 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 를 도입한다.
• 연합 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 를 사용하여, 형태 $S_t^\eta = S_0 + \int a(S_r^\eta)dr + \int b(S_r^\eta)\circ dB_r + \int c(S_r^\eta)d\boldsymbol{\eta}_r$ 의 하이브리드 SDE의 해를 난류 미분방정식(RDE) 수식으로 정의한다.
• 가우시안 과정에 대한 프리즈–비토르 리프트를 적용하고, 연합 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 의 $p$-변동성 및 허더 정규성 추정을 수립한다.
• 이토 적분 근사에 기반한 새로운 추론을 활용하여, $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 가 거의 확실하게 기하학적 난류 경로이자 시간 이동 불변성을 만족함을 증명한다.
• 임bedding 정리와 모멘트 유계를 이용하여, $\beta$-변동성 노름 $N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])$ 에 대한 가우시안 尾 꼬리 추정을 유도한다.
• 이러한 통합 결과를 적용하여, $\boldsymbol{\eta}$ 매개변수에 대해 균일한 지수 모멘트를 갖는 난류 확률미분방정식(RSDE)의 해를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적으로 두 난류 경로 사이의 연합 리프트가 존재하지 않음에도 불구하고, 결정론적 난류 경로와 브라운 운동 사이에 표준 연합 난류 경로 리프트를 구성할 수 있는가?
• RQ2 벡터장이 비자명한 리 브라켓을 가질 경우, 브라운 운동과 난류 경로 양자 모두에 의해 구동되는 하이브리드 SDE는 어떻게 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ3 해 매핑 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ 는 하이더 공간 $\mathcal{C}^{0,\alpha}$ 에서 $L^q$-유계 적응 과정 공간으로의 국소 리프시츠 연속성인가?
• RQ4 연합 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 에 의해 구동되는 난류 미분방정식의 해는 모든 $\boldsymbol{\eta}$ 가 유계 하이더-노름 집합 내에 있을 때 균일한 가우시안 통합 가능성 추정을 갖는가?
• RQ5 가우시안 난류 경로에 대한 통합 이론을 확장하여, $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 에 의해 구동되는 RSDE 해에 대해 균일한 지수 모멘트를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 결정론적 단계-2 난류 경로 $\boldsymbol{\eta}$ 와 브라운 운동 $B$ 사이에 표준 연합 난류 경로 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 가 존재하며, 시간 이동 불변성과 거의 확실한 기하학적 난류 경로 성질을 만족한다.
• 해 매핑 $\boldsymbol{\eta} \mapsto S^\boldsymbol{\eta}$ 는 하이더 공간 $\mathcal{C}^{0,\alpha}$ 에서 $L^q$-유계 적응 과정 공간으로의 국소 리프시츠 연속성이다.
• 모든 $r>0$ 에 대해, $\delta>0$ 가 존재하여 $\sup_{\|\boldsymbol{\eta}\|_{\alpha-\text{H}\ddot{o}l} \leq r} \mathbb{E}\left[\exp\left(\delta N_\beta(\boldsymbol{\Lambda}^\eta;[0,T])^2\right)\right] \leq \frac{1}{\delta}$ 를 만족함으로써, 가우시안 尾 꼬리 감쇠가 증명된다.
• 연합 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 는 $\mathbb{P}[\boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega + h) = T_h \boldsymbol{\Lambda}^\eta(\omega) \text{ for all } h \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^e)] = 1$ 을 만족하여, 위너 카오스 구조와의 일관성을 확보한다.
• 연합 리프트 $\boldsymbol{\Lambda}^\eta$ 에 의해 구동되는 RSDE의 통합 추정은 $\boldsymbol{\eta}$ 에 대해 균일하며, 유계 하이더-노름 집합 내에서 지수 모멘트가 균일하게 유계이다.
• 결과들은 비선형 필터링에서 클락의 강건성 문제를 복원하고 확장하며, 선형 난류 경로 노이즈를 갖는 PDE 해에 대한 파인만–카프 표현을 제공한다.