[논문 리뷰] A Lie-group derivation of a multi-layer mixing length formula for turbulent channel and pipe flow

Zhen-Su She, Xi Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 29.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 평균 운동량 방정식의 리 군 분석을 통해 난류 채널 및 파이프 유동에 대한 다층 혼합 길이 공식을 유도하며, 점성 서브레이어, 버퍼 레이어, 로그 레이어, 중심 코어 및 전체 영역을 기술하는 해석적 불변 해를 도출한다. 주요 결과로는 전체 영역에서의 혼합 길이에 대해 간단한 1−r^m 형태(채널의 경우 m=4, 파이프의 경우 m=5)를 제안하며, 이는 DNS 데이터로 검증되었다.

ABSTRACT

A novel Lie-group analysis of the (unclosed) mean momentum equation (MME) for turbulent channel and pipe flows yields an analytic multi-layer formula for the mixing length (hence the mean velocity profile) as a candidate invariant solution. Two kinds of local invariant solutions are proposed: one describing viscous sublayer, buffer layer, log-layer, and a newly discovered central core, and the other describing the bulk zone where a quasi-balance is established between turbulent production and dissipation. In particular, a simple form, 1-r^m, is derived for describing the mixing length in the bulk zone of channel (m=4) and pipe (m=5) flows. Furthermore, an ansatz based on a relation between prolonged Lie-group invariants is proposed to derive composite invariant solutions to the MME, yielding the entire mixing length profile. The theory proposes a thorough quantification of commonly recognized multi-layer structure using three kinds of parameters: scaling, layer thickness and transition sharpness. All the above assumptions are validated by direct numerical simulation (DNS) of channel and pipe flows. A general framework extending this Lie-group analysis to other wall-bounded turbulent flows is proposed.

연구 동기 및 목표

• 대칭 분석을 이용하여 난류 벽에 의해 제한되는 유동에서 혼합 길이 프로파일의 체계적이고 불변 기반의 유도 방법을 개발한다.
• 불변 해를 통해 점성 서브레이어, 버퍼 레이어, 로그 레이어, 중심 코어 및 전체 영역을 포함한 다수의 유동 레이어를 식별하고 특성화한다.
• 벽에서 중심선까지 전체 프로파일을 기술하는 닫힌 형태의 해석적 표현을 제공한다.
• 채널 및 파이프 유동의 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터와 비교하여 유도된 혼합 길이 모델을 검증한다.
• 리 군 분석을 다른 벽에 의해 제한되는 난류 유동으로 확장하기 위한 일반적 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 비폐쇄된 평균 운동량 방정식(MME)에 리 군 분석을 적용하여 대칭성과 불변 해를 식별한다.
• 내부 레이어(점성 서브레이어에서 로그 레이어까지)에 적합한 한 유형의 국소 불변 해와, 난류 생성-소멸 평형을 가지는 전체 영역에 대한 다른 유형의 불변 해를 제안한다.
• 확장된 리 군 불변 해를 바탕으로 한 앙사츠를 도입하여 전체 유동 도메인을 커버하는 복합 불변 해를 구성한다.
• 채널의 경우 m=4, 파이프의 경우 m=5로 설정하여 전체 영역에서 혼합 길이에 대한 단순한 1−r^m 기능 형태를 도출한다.
• 스케일링, 레이어 두께, 전이의 날카기 정도를 세 가지 핵심 매개변수로 삼아 다층 구조를 정량화한다.
• 채널 및 파이프 유동에 대한 고정밀 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터와 모든 이론적 예측을 비교 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군 분석을 통해 난류 채널 및 파이프 유동의 모든 영역에서 일관되고 불변 기반의 혼합 길이 유도가 가능한가?
• RQ2 전체 영역에서 혼합 길이에 대해 어떤 기능 형태가 도출되며, 채널과 파이프 유동 간에 어떻게 다름이 있는가?
• RQ3 확장된 리 군 불변 해는 어떻게 사용하여 전체 프로파일을 커버하는 복합 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 유도된 불변 해는 DNS 데이터에서 관찰된 다층 구조와 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 다른 벽에 의해 제한되는 난류 유동으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 리 군 분석을 통해 점성 서브레이어, 버퍼 레이어, 로그 레이어, 중심 코어 및 전체 영역을 모두 포함하는 새로운 다층 혼합 길이 공식을 도출하였다.
• 전체 영역에서 혼합 길이가 단순한 1−r^m 형태를 따르며, 채널 유동의 경우 m=4, 파이프 유동의 경우 m=5로 확인되었다.
• 이론적 분석을 통해 기존에 인식되지 않았던 중심 코어 영역이 난류 채널 및 파이프 유동에서 존재한다는 점을 밝혀냈다.
• 유도된 혼합 길이 프로파일은 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터와 비교하여 검증되었으며, 불변 해의 정확성이 확인되었다.
• 스케일링, 레이어 두께, 전이의 날카기 정도 세 가지 매개변수를 통해 다층 구조를 체계적으로 정량화할 수 있는 프레임워크를 제공하였다.
• 리 군 분석을 다른 벽에 의해 제한되는 난류 유동으로 확장할 수 있는 일반화 가능한 방법을 수립하였다.