[논문 리뷰] A Linear-Optical Proof that the Permanent is #P-Hard

Scott Aaronson|2011. 09. 08.

graph theory and CDMA systems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 선형광학 양자계산과 후선택(postselection)을 활용하여 정수 행렬의 행렬식을 계산하는 것이 #P-난이도임을 양자계산 기반으로 새롭게 증명한다. n광자의 선형광학 회로에서의 진폭이 n×n 행렬의 행렬식과 대응됨을 보이고, 후선택된 선형광학의 보편성을 활용하여 양자계산의 보편성에 기반해, 보다 직관적이고 물리적으로 의미 있는 접근 방식으로 발리언트의 획기적인 결과를 재정립한다.

ABSTRACT

One of the crown jewels of complexity theory is Valiant's 1979 theorem that computing the permanent of an n*n matrix is #P-hard. Here we show that, by using the model of linear-optical quantum computing---and in particular, a universality theorem due to Knill, Laflamme, and Milburn---one can give a different and arguably more intuitive proof of this theorem.

연구 동기 및 목표

• 행렬식 계산이 #P-난이도임을 증명하는 데 있어 발리언트의 정리에 대한 대체적이고 더 직관적인 증명을 제공하는 것.
• 행렬식의 #P-난이도가 선형광학 양자계산과 후선택의 원리로부터 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 양자계산이 기본적인 복잡도 결과를 더 명확한 물리적 의미를 지닌 고수준의 프레임워크로 재정립하는 데 기여할 수 있음을 보여주는 것.
• 행렬식의 근사 또는 부호 계산을 근사하는 것 역시 #P-난이도임을 보여주는 것으로, 난이도 결과를 근사 및 부호 계산으로 확장하는 것.

제안 방법

• 후선택된 선형광학이 보편 양자계산을 수행할 수 있음을 보장하는 KLM 보편성 정리(보편성 정리)를 사용하는 것.
• n광자 선형광학 회로에서의 양자 진폭을 n×n 행렬의 행렬식으로 표현하는 것.
• #P 계산을 시뮬레이션하는 양자 회로를 구성하여, 만족할 수 있는 할당 수를 행렬의 행렬식으로 인코딩하는 것.
• Toffoli 및 CSIGN 게이트를 포함한 일련의 양자 게이트를 통해 행렬식 계산 문제를 양자 진폭 계산으로 환원하는 것.
• 특정 측정 결과로의 투영을 위해 후선택을 적용하여, #P-난이도 진폭을 행렬의 행렬식에 인코딩하는 것.
• 행렬 원소를 유한 정밀도로 잘라내고 스케일링하여 원래의 #P 계산을 정확히 인코딩하는 정수 행렬의 행렬식을 얻는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬식의 #P-난이도를 조합적 기법 대신 양자계산 원리로부터 재정립할 수 있는가?
• RQ2 후선택된 선형광학이 행렬식의 복잡도를 이해하는 데 물리적으로 의미 있는 프레임워크를 제공하는가?
• RQ3 행렬식의 부호나 크기 계산의 난이도는 양자 후선택을 통해 확립될 수 있는가?
• RQ4 중간 단계의 환원(예: #3SAT로의 환원)을 건너뛰고, 직접적으로 #P 문제에서 행렬식으로의 환원이 가능한가?
• RQ5 양자 후선택은 행렬식의 근사 난이도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정수 행렬의 행렬식을 계산하는 것은, 선형광학 양자 진폭으로의 환원을 통해 #P-난이도임을 증명하였다. 이 진폭은 행렬식과 동일하다.
• 이 증명은 정수 행렬의 행렬식의 부호를 계산하는 것이 튜링 환원 하에 #P-난이도임을 입증한다.
• 행렬식을 어떤 다항식 인자 내에서 근사하는 것은 #P-난이도이며, 부호를 결정하는 것조차 #P-완전 문제를 해결해야 하기 때문이다.
• 동일한 환원은 |Per(A)| 또는 Per(A)²를 어떤 다항식 인자 내에서 근사하는 것도 #P-난이도임을 보여준다.
• 이 구성은 자가 포함되어 있으며, 양자 보편성 및 게이트 구성(예: CSIGN 게이트로부터 Toffoli 게이트 구성)에 대한 증명까지 논문 내에 포함되어 있다.
• 사이클 커버나 조합 기반 기법에 의존하지 않아, 발리언트의 원래 증명에 비해 물리적으로 더 의미 있는 대체 방법을 제공한다.