[논문 리뷰] A local-global principle for preordered semirings and abstract Positivstellens\"atze

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순서가 부여된 반군에 대한 국소-전역 원칙을 수립하며, 실 스펙트럼의 점들 주변의 무한소 이웃을 탐사하는 테스트 대수로의 호모모르피즘을 통해 대수적 순서 구조와 기하적 순서를 연결한다. 주요 기여는 순서가 부여된 반체에 대한 추상적 비아르키메데스적 포지티브슈텐잔츠를 제시하는 것으로, 반체 순서가 그의 전순확장들의 교차임을 보여주며, 준순서가 부여된 환의 기초적 발전과 랜덤 워크의 점근적 분류에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

Motivated by trying to find a new proof of Artin's theorem on positive polynomials, we state and prove a Positivstellensatz for preordered semirings in the form of a local-global principle. It relates the given algebraic order on a suitably well-behaved semiring to the geometrical order defined in terms of a probing by homomorphisms to test algebras. We introduce and study the latter as structures intended to capture the behaviour of a semiring element in the infinitesimal neighbourhoods of a real point of the real spectrum. As first applications of our local-global principle, we prove two abstract non-Archimedean Positivstellensatze. The first one is a non-Archimedean generalization of the classical Positivstellensatz of Krivine-Kadison-Dubois, while the second one is deeper. A companion paper will use our second Positivstellensatz to derive an asymptotic classification of random walks on locally compact abelian groups. As an important intermediate result, we develop an abstract Positivstellensatz for preordered semifields which states that a semifield preorder is always the intersection of its total extensions. We also introduce quasiordered rings and develop some of their theory. While these are related to Marshall's $T$-modules, we argue that quasiordered rings offer an improved definition which puts them among the basic objects of study for real algebra.

연구 동기 및 목표

• 잘 정의된 반군에서의 대수적 순서와 테스트 대수로의 호모모르피즘에 의해 유도되는 기하적 순서를 연결하는 국소-전역 원칙을 개발한다.
• 기본적인 포지티브슈텐잔츠를, 특히 크리비네-카디손-두바이의 정리를 비아르키메데스적 환경으로 일반화하기 위해 추상 대수적 방법을 사용한다.
• 반체에서의 순서가 그의 전순확장들의 교차임을 보여주는, 추상 실대수학의 기본 결과를 확립한다.
• 마셜의 T-모듈의 보다 정교한 대체로, 실대수학에서 중심적인 대상이 되는 준순서가 부여된 환을 도입하고 연구한다.
• 미래의 응용을 위한 기초를 마련하며, 국소적으로 컴act한 아벨 군 위의 랜덤 워크의 점근적 분류를 포함한다.

제안 방법

• 잘 정의된 반군에서의 대수적 순서를 테스트 대수로의 호모모르피즘에 의해 유도되는 기하적 순서와 연결함으로써 국소-전역 원칙을 수립한다.
• 테스트 대수를 실 스펙트럼의 점들 주변의 무한소 이웃에서 반군 원소의 행동을 모델링하는 구조로 정의한다.
• 추상 순서론적 및 대수적 기법을 사용하여 반체에서의 순서가 그의 전순확장들의 교차임을 증명한다.
• T-모듈의 일반화로서, 실대수적 응용에 더 좋은 구조적 성질을 지닌 준순서가 부여된 환을 도입한다.
• 국소-전역 원칙을 적용하여 두 개의 추상적 비아르키메데스적 포지티브슈텐잔츠를 도출하며, 그 중 하나는 크리비네-카디손-두바이 정리를 일반화한다.
• 두 번째 포지티브슈텐잔츠를 기반으로, 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 위의 랜덤 워크의 점근적 분류를 다루는 보조 논문의 기초를 마련한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 순서가 부여된 반군에서의 대수적 순서와 기하적 순서를 연결하는 국소-전역 원칙을 수립할 수 있는가?
• RQ2 추상 실대수학의 맥락에서 반체의 순서와 그 전순확장들 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 기본적인 크리비네-카디손-두바이 포지티브슈텐잔츠를 추상 대수적 구조를 사용하여 비아르키메데스적 환경으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 준순서가 부여된 환은 마셜의 T-모듈에 비해 실대수학의 기본 대상으로서 어떻게 개선되는가?
• RQ5 테스트 대수의 어떤 구조적 성질이 반군 원소의 실 스펙트럼의 점들에서의 무한소 행동을 포착하는가?

주요 결과

• 반체에서의 순서는 정확히 그 전순확장들의 교차임을 보여주며, 추상 실대수학에서의 근본적인 특성화를 확립한다.
• 국소-전역 원칙은 순서가 부여된 반군에서의 대수적 순서와 테스트 대수로의 호모모르피즘에 의해 정의된 기하적 순서를 성공적으로 연결한다.
• 비아르키메데스적 환경으로 일반화된 추상적 비아르키메데스적 포지티브슈텐잔츠가 증명되었으며, 이는 고전적인 크리비네-카디손-두바이 정리를 비아르키메데스적 환경으로 일반화한다.
• 준순서가 부여된 환은 실대수적 구조를 연구하기 위한 T-모듈보다 더 정교하고 자연스러운 프레임워크로 도입되었다.
• 이 틀은 순서가 부여된 반군의 더 깊은 구조적 이해를 가능하게 하며, 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 위의 랜덤 워크의 점근적 분류와 같은 미래의 응용을 위한 도구를 제공한다.