[논문 리뷰] A local limit theorem for random walks in random scenery and on randomly oriented lattices

Fabienne Castell, Nadine Guillotin‐Plantard외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 09.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 36인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 난수 장면에서의 랜덤 워크(RWRS) 및 무작위로 방향이 정해진 격자 위의 랜덤 워크에 대해 국소 극한정리(local limit theorem)를 수립하며, 단계 분포와 장면 분포가 안정 분포의 영역에 속해 있을 조건 하에 $ n \to \infty $일 때 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $의 渐近적 행동을 증명한다. 여기서 $ \delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta} $이며, $ \alpha, \beta \in (0,2] $는 각각 안정 분포의 지수를 뜻한다. 주요 결과는 안정 과정과 관련된 밀도로 수렴함을 보이며, 기능적 극한정리(Functional limit theorems)를 국소 확률 스케일로 확장한다.

ABSTRACT

Random walks in random scenery are processes defined by $Z_n:=\\sum_{k=1}^n\\xi_{X_1+...+X_k}$, where $(X_k,k\\ge 1)$ and $(\\xi_y,y\\in\\mathbb Z)$ are two independent sequences of i.i.d. random variables. We assume here that their distributions belong to the normal domain of attraction of stable laws with index $\\alpha\\in (0,2]$ and $\\beta\\in (0,2]$ respectively. These processes were first studied by H. Kesten and F. Spitzer, who proved the convergence in distribution when $\\alpha\ eq 1$ and as $n\ o \\infty$, of $n^{-\\delta}Z_n$, for some suitable $\\delta>0$ depending on $\\alpha$ and $\\beta$. Here we are interested in the convergence, as $n\ o \\infty$, of $n^\\delta{\\mathbb P}(Z_n=\\lfloor n^{\\delta} x\ floor)$, when $x\\in \\RR$ is fixed. We also consider the case of random walks on randomly oriented lattices for which we obtain similar results.

연구 동기 및 목표

• 단계 분포와 장면 분포가 안정 분포의 영역에 속할 경우, 난수 장면에서의 랜덤 워크(RWRS)에 대한 국소 극한정리를 수립하기.
• 케스텐과 스피츠의 기능적 극한정리를 국소 확률 척도로 확장하여 $ n \to \infty $일 때 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $의 渐近적 행동을 규명하기.
• 무작위로 방향이 정해진 격자 위의 랜덤 워크의 경우를 분석하여, 유사한 국소 극한정리 결과를 도출하기.

제안 방법

• 분석은 $ Z_n = \sum_y \xi_y N_n(y) $의 표현에 기반하며, 여기서 $ N_n(y) $는 랜덤 워크가 위치 $ y $에서의 국소 시간이고, 스케일된 국소 시간과 장면 과정의 공동 수렴을 고려한다.
• 스케일링 극한 $ n^{-\delta}Z_{nt} \Rightarrow \Delta(t) $를 사용하며, 여기서 $ \Delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty} L_t(x) \, dY(x) $이며, $ L_t(x) $는 안정 레비 과정의 국소 시간이고 $ Y(x) $는 안정 증분을 가지는 레비 과정이다.
• 핵심 기술 도구로는 랜덤 워크의 범위 $ R_n $에 대한 모멘트 한계와 집중 불등식을 사용하며, 특히 $ \mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma)) $를 증명하여, $ \gamma \in (0,1/\alpha) $일 때 일반적인 행동을 확보한다.
• 큰 변화를 제어하기 위해 꼬리 확률 $ \mathbb{P}(R_n \geq a+b) \leq \mathbb{P}(R_n \geq a)\mathbb{P}(R_n \geq b) $의 하향 곱성(submultiplicativity)을 활용한다.
• 하향 꼬리의 경우, 상호배타적인 간격으로 분해하고 i.i.d. 블록 추정을 사용하여 $ \mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma}) $를 상한으로 제시하며, 평균 주위의 범위 집중을 통해 지수적 감소를 보인다.
• 결과는 동일한 스케일링 및 안정성 가정 하에 방향이 무작위로 정해진 격자 설정으로 일반화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립 동일분포 성분과 안정 분포 영역에 속하는 장면을 가진 난수 장면에서의 랜덤 워크에 대해, $ n \to \infty $일 때 국소 확률 $ \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $의 渐近적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 스케일링 지수 $ \delta $는 무엇이며, 이때 $ n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $가 비퇴화된 밀도로 수렴하는가?
• RQ3 안정 분포 가정이 동일할 경우, 무작위로 방향이 정해진 격자 위의 랜덤 워크에 대해 국소 극한정리가 확장되는가?
• RQ4 랜덤 워크의 범위 $ R_n $의 집중 성질이 $ Z_n $의 국소 극한 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $ Z_n $의 유한차원 분포 수렴을 국소 밀도 수렴으로 강화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \alpha > 1 $일 때 $ n^\delta \mathbb{P}(Z_n = \lfloor n^\delta x \rfloor) $가 안정 과정 $ \Delta(t) $의 밀도에 비례하는 밀도로 수렴함을 수립한다. 여기서 $ \delta = 1 - \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta} $이다.
• $ \alpha < 1 $일 경우 스케일링은 $ n^{1/\beta} $이며, 극한 국소 확률은 안정 과정 $ Y(t) $와 기대 총 국소 시간 $ \mathbb{E}[\widetilde{N}_\infty(0)]^{1/\beta} $와 관련된다.
• 범위 $ R_n $에 대한 집중 결과 $ \mathbb{P}(\mathcal{R}_n) = 1 - \mathcal{O}(\exp(-Cn^\gamma)) $는 임의의 $ \gamma \in (0,1/\alpha) $에 대해 성립하며, 이는 $ R_n $이 일반적으로 평균의 다항적 요인 범위 내에 있음을 보장한다.
• 상향 꼬리는 하향 곱성과 마르코프 유형 불등식을 통해 제어되며, 큰 $ n $에 대해 $ \mathbb{P}(R_n \geq \mathbb{E}[R_n]n^\gamma) \leq \exp(-Cn^\gamma) $를 얻는다.
• 하향 꼬리는 간격 분해와 i.i.d. 블록 분석을 사용하여 상한을 구하며, $ \mathbb{P}(R_n \leq \mathbb{E}[R_n]n^{-\gamma}) \leq \mathbb{P}(R_{l_n} \leq \mathbb{E}[R_{l_n}]/2)^N $ (여기서 $ N \sim c n^{\gamma} $)로 표현되며, 확률은 지수적으로 감소한다.
• 결과는 동일한 스케일링 및 안정성 가정 하에 무작위로 방향이 정해진 격자 위의 랜덤 워크로 일반화되며, 유사한 국소 극한정리 결과가 도출된다.