[논문 리뷰] A local trace formula for Anosov flows (with an appendix by Frédéric Naud)

Long Jin, Frédéric Naud외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아노소프 유동에 대한 국소적 추적 공식을 수립하여 폴리코트–루엘 리조넌스를 닫힌 궤도의 주기와 선형화된 피카르 에이프의 지표와 연결한다. 임의의 충분히 넓은 막대에서 리조넌스 수를 센 함수가 선형 이하로 증가할 수 없음을 증명함으로써, 컴act 다양체 위의 모든 아노소프 유동에 대해 무한히 많은 리조넌스가 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

We prove a local trace formula for Anosov flows. It relates Pollicott--Ruelle resonances to the periods of closed orbits. As an application, we show that the counting function for resonances in a sufficiently wide strip cannot have a sublinear growth. In particular, for any Anosov flow there exist strips with infinitely many resonances.

연구 동기 및 목표

• 아노소프 유동의 닫힌 궤도의 주기와 선형화된 피카르 에이프와 연결된 폴리코트–루엘 리조넌스를 연결하는 국소적 추적 공식을 수립하는 것.
• 콤팩트 다양체 위의 아노소프 유동에 대해 리조넌스 집합이 항상 무한한지 여부라는 열린 문제를 해결하는 것.
• 막대 내 리조넌스의 수를 센 함수가 선형 이하로 증가할 수 없음을 보여주어 무한히 많은 리조넌스가 존재함을 시사하는 것.
• 리조넌스 합과 동역학적 자료를 가진 원시 주기 궤도 합을 연결하는 분포적 항등식을 제공하는 것.
• 추적 공식의 오차 항의 해석적 계속성을 보이고 복소 평면에서의 성장률을 유계로 제한하는 것.

제안 방법

• 분포적 항등식 형태의 국소적 추적 공식 유도: Im(μ) > -A 인 리조넌스에 대한 e^{-iμt} 합에 나머지 분포 F_A(t)를 더한 것이 T_γ^# 및 |det(I - P_γ)|를 포함하는 원시 주기 궤도에 대한 합과 같다.
• 해석적 계속성에 의해 (P - λ)^{-1}이 C로의 유리형 계속성을 가지며, 폴리코트–루엘 리조넌스를 극으로 정의함.
• 디아틀로프–츠베르스키의 정의에 따라 리조넌스를 P + iεΔ_g의 고유값의 ε → 0+ 극한으로 정의함.
• 나머지 분포 F_A의 푸리에 변환은 Im(λ) < A 영역에서 해석적 계속성을 가지며, Im(λ) < A - ε 에서 ⟨λ⟩^{2n+1} 정도로 최대한 증가함을 보임.
• 포아송 합공식과 스텝 흐름에 대한 추적 공식을 적용하여 실해석적 편미분을 가진 선형 아노소프 사상의 변형에 대해 동역학 측면을 명시적으로 계산함.
• 전이 연산자 T(f) = f∘F 가 트레이스 클래스 성질을 가지며, 추적 공식 ∑_{F^p x = x} |det(I - D_x F^p)|^{-1} = ∑_k e^{-ipλ_k} 을 이용해 추적 공식의 동역학 측면을 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 아노소프 유동에 대해 리조넌스와 주기 궤도를 연결하는 국소적 추적 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 폴리코트–루엘 리조넌스는 항상 막대에 집중되는가, 아니면 유한 개일 수 있는가?
• RQ3 막대 내 리조넌스 수를 센 함수는 반드시 선형 이하로 증가해야 하는가, 아니면 최소한 선형 이상으로 증가할 수 있는가?
• RQ4 스텝 흐름에 대해 추적 공식의 동역학 측면을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 아노소프 사상은 수많은 루엘 리조넌스를 유도하는가, 이는 흐름에서 평행한 수직선으로 배열된 폴리코트–루엘 리조넌스를 의미하는가?

주요 결과

• 국소적 추적 공식이 수립됨: (0,∞) 상에서 분포의 의미에서 ∑_{μ∈Res(P), Im(μ)>-A} e^{-iμt} + F_A(t) = ∑_{γ∈G} T_γ^# δ(t - T_γ) / |det(I - P_γ)|.
• 나머지 분포 F_A의 푸리에 변환은 {Im(λ) < A}에서 해석적 계속성을 가지며, Im(λ) < A - ε 에서 O_A,ε(⟨λ⟩^{2n+1}) 정도로 유계로 제한됨.
• 임의의 막대 {Im(μ) > -A} 내 리조넌스 수를 센 함수는 δ < 1 인 r^δ 이하로 증가할 수 없으며, 이는 무한히 많은 리조넌스가 존재함을 시사함.
• 실해석적 편미분을 가진 선형 아노소프 사상의 변형에 대해, 스텝 흐름의 리조넌스는 (2πj + λ_k)/r (j ∈ ℤ, k ∈ ℕ) 형태로 복소 평면에 격자형으로 배열됨.
• 선형 아노소프 사상의 경우(예: 아르놀드의 고양이 맵), 루엘 리조넌스는 1에 집중되어 있으며, 이에 따라 리조넌스는 (2π/r)ℤ 형태로 실수축 상의 이산 집합을 이룸.
• 결과적으로, 임의의 콤팩트 다样的체 위의 아노소프 유동에 대해 본질적 스펙트럼 갭 ν_1 가 유한함을 확인하여 오랫동안 열려있던 문제를 해결함.