[논문 리뷰] A locally mass conserving quadratic velocity, linear pressure element

R. W. Thatcher, David J. Silvester|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 31.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이차 속도와 선형 압력에 요소별로 상수 압력 강화를 추가한 국소 질량 보존성(LC) 유한요소를 도입한다. 이는 새로운 패치 기반 안정성 분석을 통해 다양한 삼각형 격자에서 최적 수렴성과 안정성을 입증하며, 복잡한 유동 구조(예: 다중 순환 영역)를 해결하는 데 타일러–후드 요소보다 뛰어나다.

ABSTRACT

By supplementing the pressure space for the Taylor-Hood element a triangular element that satisfies continuity over each element is produced. Making a novel extension of the patch argument to prove stability, this element is shown to be globally stable and give optimal rates of convergence on a wide range of triangular grids. This theoretical result is extended in the discussion given in the appendix, showing how optimal convergence rates can be obtained on all grids. Two examples are presented, one illustrating the convergence rates and the other illustrating difficulties with the Taylor-Hood element which are overcome by the element presented here.

연구 동기 및 목표

• 타일러–후드 요소가 국소적으로가 아니라 요소 전체로만 연속성을 강제하기 때문에 국소 질량 보존성이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 최적 수렴률을 유지하면서 국소 비압축성(국소 연속성)을 보장하는 유한요소를 개발하기 위해.
• 강화된 압력 공간에 대해 확장된 패치 추론을 사용한 새로운 안정성 증명을 수립하여, 다양한 비정규 삼각형 메esh에 적용 가능하도록 하기 위해.
• 수치 예제를 통해 새로운 요소가 다중 순환 영역과 같은 복잡한 유동 구조를 더 정확하게 해결함을 보여주며, 조밀한 격자에서도 타일러–후드 요소보다 뛰어나게 성능을 발휘함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 이차 속도 형상 함수($P_2$)를 사용하고, 연속적인 선형 압력($P_1$) 공간에 요소별 상수 함수($P_0$)를 강화하여 국소 보존성 압력 공간을 구성한다.
• 이산 인프-소프 조건은 새로운 패치 기반 안정성 추론을 통해 증명되며, 상수 함수 표현의 비유일성 문제를 다루기 위해 패치를 더 큰 겹치는 확장 패치로 둘러싸는 방식을 사용한다.
• 분석은 스텐베르그와 볼랜드–니콜라이데스의 패치 기법을 확장하여, 강화된 압력 공간에서 상수의 비유일 표현을 다룰 수 있도록 조정한다.
• 이 방법은 스토크스 및 라우아지에르–스토크스 문제에 모두 적용되며, 이산 방정식은 속도와 압력 연속성 제약 조건을 만족하는 유한요소 부분공간에서 해를 구한다.
• 비삼각형 모서리에 대해서는 압력 안정화 전략을 도입하여 중심점과 정점 압력을 고정함으로써 해의 존재성을 보장하면서 정확도를 손상시키지 않는다.
• 이론적 안정성은 두 가지 벤치마크 문제에서 수치적으로 검증되었으며, 다중 순환 영역이 있는 소용루어링 유동 문제를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 수렴률을 유지하면서 각 요소에서 수렴성(즉, 요소별로 수렴성 있는 속도)을 보장하는 유한요소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 선형 압력에 요소별 상수를 더한 강화된 압력 공간이 비정규 삼각형 격자, 특히 극도로 기울여지거나 늘어진 요소를 포함해도 안정적인가?
• RQ3 제안된 요소가 다중 순환 영역과 같은 복잡한 유동 특징을 타일러–후드 요소보다 더 정확하게 해결하는가?
• RQ4 압력 공간에서 상수 함수의 비유일 표현을 다룰 수 있는 새로운 패치 기반 안정성 추론을 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 질량 보존성(LC) 요소는 표준 정규성 조건 $h_{\triangle} \leq \sigma \rho_{\triangle}$를 위반하는 다양한 삼각형 격자에서도 속도와 압력에 대해 최적 수렴률을 달성한다.
• LC 요소는 $16 \times 4$ 격자에서 소용루어링 유동 문제에서 세 개의 별도 순환 영역을 정확히 해결하지만, 타일러–후드 요소는 $64 \times 16$ 격자에서도 하나 이상의 완전한 순환 영역을 포착하지 못한다.
• 수치 결과에 따르면 LC 요소는 격자 세분화에 따라 일관된 해를 생성하는 반면, 동일한 문제에서 타일러–후드 요소는 비정상적이고 일관되지 않은 행동을 보인다.
• 안정성 증명은 패치를 겹치는 확장 패치로 둘러싸는 방식에 기반하며, 이는 압력 공간에서 상수 함수의 다중 표현 문제를 해결하는 데 성공한다.
• 격자가 모든 모서리를 삼각형으로 분할하지 않더라도, 경계에 인접한 요소에서 중심점과 정점 압력을 고정하면 방법은 여전히 안정적이고 정확하다.