[논문 리뷰] A looped-functional approach for robust stability analysis of linear impulsive systems

Corentin Briat, Alexandre Seuret|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 08.

Control Systems and Identification참고 문헌 31인용 수 241

한 줄 요약

이 논문은 선형 이mpulsive 시스템의 강건한 안정성 분석을 위한 루프형 기능적 접근법을 제안하며, 비단조적 리아푸노프 함수의 사용을 가능하게 하고, 지수항이 제거된 선형행렬부등식(LMI) 조건을 도출한다. 이 방법은 확정적 및 불확실한 시스템 모두에 대해 주기적 또는 비주기적, 범위가 있는 주기 시간 조건을 포함한 효율적인 주기 시간 분석을 가능하게 하며, 기존 방법보다 계산 효율성이 뛰어나고 적용 범위가 넓다.

ABSTRACT

A new functional-based approach is developed for the stability analysis of linear impulsive systems. The new method, which introduces looped-functionals, considers non-monotonic Lyapunov functions and leads to LMIs conditions devoid of exponential terms. This allows one to easily formulate dwell-times results, for both certain and uncertain systems. It is also shown that this approach may be applied to a wider class of impulsive systems than existing methods. Some examples, notably on sampled-data systems, illustrate the efficiency of the approach.

연구 동기 및 목표

• 기존 리아푸노프 기반 방법의 한계를 해결하기 위해, 특히 LMI 조건 내에 존재하는 지수항이 수치적 안정성과 확장성에 악영향을 미치는 문제를 해결한다.
• 표준 접근법으로는 해결이 불가능한, 지수항 내에 블록 행렬 불확실성을 포함한 불확실한 이mpulsive 시스템의 분석 곤경을 해결한다.
• 연속시간 리아푸노프 함수가 충격 시점에서만 감소함을 중시함으로써, 충격 간 일시적인 증가를 수용할 수 있도록 비단조적 연속시간 리아푸노프 함수의 사용을 가능하게 하는 프레임워크를 개발한다.
• 불확실한 선형 이impulsive 시스템에 대해 최소 및 최대 주기 시간 제약 조건뿐 아니라 범위가 있는 주기 시간 조건 하에서도 강건한 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 이를 통해 샘플드 데이터 및 네트워크 기반 제어 시스템을 포함한 더 넓은 범위의 이impulsive 시스템에 적용 가능하도록, 연속시간 기능적 프레임워크 내에서 이산시간 안정성 기준을 활용한다.

제안 방법

• 충격 시점에서만 시스템 에너지를 평가하는 새로운 유형의 리아푸노프 유사 기능인 루프형 기능을 도입하여, 충격 간 비단조적 행동을 허용한다.
• 연속시간 프레임워크 내에 임베디드된 이산시간 리아푸노프 기준을 사용하여 안정성 조건을 수립함으로써, 각 충격 순간에 리아푸노프 함수가 감소하도록 보장한다.
• 주기 시간에 대해 선형이며 지수항이 제거된 LMI 조건을 유도하여, 효율적인 수치적 해법과 강건성 분석을 가능하게 한다.
• 시스템 행렬 $ A \times J $ 의 볼록결합을 고려하여 불확실한 시스템에 적용함으로써, 불확실성 집합 내 모든 조합에 대해 안정성을 보장한다.
• 이산시간과 연속시간 안정성 간의 암묵적 대응 관계를 루프형 기능을 통해 활용하여, 이산시간 안정성 조건을 연속시간 LMI 제약 조건으로 변환한다.
• 연속 동역학과 점프 행동을 모두 포함하는 복합 리아푸노프 함수를 구성하며, 매트릭스 변수 $ P, Z_j, Q_j, U_j, R_j, N_j $ 가 기능적 구조를 매개변수화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LMI 조건 내에서 지수항을 사용하지 않고도 선형 이impulsive 시스템의 강건한 안정성 분석을 위한 기능 기반 접근법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 비단조적 연속시간 리아푸노프 함수는 충격 간에 함수가 증가하는 경우에도 이impulsive 시스템의 안정성 분석에 얼마나 널리 활용될 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 불확실한 이impulsive 시스템에서 최소 및 최대 주기 시간 제약 조건뿐 아니라 범위가 있는 주기 시간 간격을 모두 처리할 수 있는가?
• RQ4 그리드 기반 방법이나 고유값 분석에 비해 루프형 기능적 접근법은 허용 가능한 주기 시간을 결정하는 데 있어 계산 효율성과 보수성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 샘플드 데이터 및 네트워크 기반 제어 시스템에서 유도된 더 일반적인 이impulsive 시스템의 분석으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 루프형 기능적 접근법은 주기 시간에 대해 선형이며 지수항이 제거된 LMI 조건을 도출하여, 효율적이고 강건한 수치 계산이 가능하다.
• 불확실한 시스템 $ A \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1&3\\-1&2\\2&2\\0&6\\\text{co}\big\rbrace $ 에 대해, 이 방법은 최대 허용 주기 시간의 하한을 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $ 로 계산하며, 그리드 기반 방법에 비해 약간 보수적이지만 계산 효율성이 뛰어나다.
• 비주기적 경우에도 동일한 방법을 적용하면 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.1148 $ 를 도출하여, 주기 시간 간격에 대한 조밀한 그리드가 필요 없이도 일관성 있고 강건한 결과를 보이며, 안정성을 유지한다.
• 불확실한 $ J \notin \text{co}\big\lbrace \begin{smallmatrix}1.3&0\\0&0.25\\1.1&0\\0&0.5\\\text{co}\big\rbrace $ 인 범위가 있는 주기 시간 경우, 이 방법은 $ T_{\text{min}}^{\text{u}} = 0.2625 $ 와 $ T_{\text{max}}^{\text{ℓ}} = 0.5761 $ 을 도출하며, 고유값 분석으로부터 도출된 진짜 간격 $[0.2624, 0.5776]$ 과 매우 유사하다.
• 기존 방법보다 더 넓은 범위의 이impulsive 시스템에 적용 가능하며, 비주기적 충격과 블록 행렬 불확실성을 포함한 시스템에 대해서도 일반화된다.
• 이 프레임워크는 비선형 시스템, 고차수 리아푸노프 함수, $ T $-의존 리아푸노프 함수로의 확장이 용이하여, 선형 정수계수 시스템을 넘어서 광범위한 미래 응용 가능성을 시사한다.