[논문 리뷰] A Low Order Finite Element Method for Poroelasticity with Applications to Lung Modelling

Lorenz Berger|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 22.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 60인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 조각상수 압력과 연속적인 조각상선형 이동 및 유량을 사용하여 다공성 탄성성에 대한 안정화된 저차수 유한요소법을 제시한다. 이는 복잡한 생물학적 조직에서 급격한 압력 기울기를 정확하게 시뮬레이션할 수 있게 한다. 이 방법은 선형 및 큰 변형 영역 모두에서 최적 수렴성과 안정성을 달성하였으며, 철저한 수치 실험을 통해 검증되었고, 생리학적 타이달 호흡과 기도 폐색에 의한 조직 반응을 재현하는 현실적인 폐 모델에 적용되었다.

ABSTRACT

In this thesis we develop a stabilised finite element method for solving the equations of poroelasticity to enable solving complex models of biological tissues such as the human lungs. For the proposed numerical scheme, we use the lowest possible approximation order: piecewise constant approximation for the pressure, and piecewise linear continuous elements for the displacements and fluid flux. Due to the discontinuous pressure approximation, sharp pressure gradients due to changes in material coefficients or boundary layer solutions can be captured reliably. We begin by developing theoretical results for approximating the linear poroelastic equations valid in small deformations. In particular, we prove existence and uniqueness, an energy estimate and an optimal a-priori error estimate for the discretised problem. We then extend this work and construct a stabilised finite element method to solve the poroelastic equations valid in large deformations. We present the linearisation and discretisation for this nonlinear problem, and give a detailed account of the implementation. We rigorously test both the linear and nonlinear finite element method using numerous test problems to verify theoretical stability and convergence results, and the method's ability to reliably capture steep pressure gradients. Finally, we derive a poroelastic model for lung parenchyma coupled to an airway fluid network model, and develop a stable method to solve the coupled model. Numerical simulations, on a realistic lung geometry, illustrate the coupling between the poroelastic medium and the network flow model, and simulations of tidal breathing are shown to reproduce global physiologically realistic measurements. We also investigate the effect of airway constriction and tissue weakening on the ventilation, tissue stress and alveolar pressure distribution.

연구 동기 및 목표

• 비균질한 다공성 탄성성 매질에서 불연속적인 물성 특성을 지닌 생물 조직의 급격한 압력 기울기를 정확하게 포착할 수 있는 강력한 저차수 유한요소법을 개발하는 것.
• 일관된 선형화와 뉴턴 반복을 사용한 안정화된 형식을 통해 이론적으로 큰 변형 영역으로의 방법 확장을 이루는 것.
• 실제 폐 통기 시뮬레이션을 위해 다공성 탄성 모델과 유체 네트워크 모델을 결합하는 것.
• 기준 문제와 생리학적 시뮬레이션을 통해 방법의 안정성, 수렴성 및 정확성을 검증하는 것.

제안 방법

• 기울기가 급격한 근사치를 효율적이고 안정적으로 근사화할 수 있도록 조각상수 압력 근사와 연속적인 조각상선형 형상 함수를 사용하여 이동 및 유량을 근사한다.
• 혼합 유한요소 형식을 적용하고 안정화 기법을 사용하여 인프-소프 조건을 만족시키고 혼합형식의 잘 정의됨을 보장한다.
• 특히 압력 변수에 대해 안정화하기 위해 갈레르킨 최소제곱 안정화 기법을 사용한다.
• 비선형 큰 변형 다공성 탄성 문제를 해결하기 위해 적응형 시간 스텝을 갖춘 뉴턴-라프슨 방법을 구현한다.
• 공기 유량과 간질 조직 변형을 시뮬레이션하기 위해 표면 조건을 통해 1차원 유체 네트워크 모델과 다공성 탄성 해석기를 결합한다.
• 대규모 문제에서 직접 해법으로 MUMPS를 사용하고, 반복 해법으로 GMRES/CG를 사용하며, libMesh와 PETSc를 활용해 병렬 유한요소 조립 및 해법을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불연속적인 압력 근사가 가능한 저차수 유한요소법이 이질적인 다공성 탄성 매질에서 급격한 압력 기울기를 신뢰성 있게 포착할 수 있는가?
• RQ2 제안된 안정화된 혼합 유한요소법이 표준 가정 하에 선형 다공성 탄성성 문제에서 최적 수렴성과 안정성을 달성하는가?
• RQ3 유한요소법이 안정성과 정확성을 유지하면서 다공성 탄성성에서 큰 변형을 처리할 수 있도록 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 결합된 다공성 탄성-유체 네트워크 모델이 현실적인 폐 기하구조에서 생리학적으로 타당한 통기 패턴을 재현할 수 있는가?
• RQ5 기도 폐색과 조직 약화가 폐 모델의 국소 통기, 응력 분포 및 폐포 압력에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 안정화된 저차수 유한요소법은 선형 다공성 탄성성 문제에 대해 최적의 사전 오차 추정치를 달성하고 강력한 수렴성을 보여준다.
• 낮은 차수 요소를 사용함에도 불구하고 물성의 변화나 경계층으로 인한 급격한 압력 기울기를 성공적으로 포착한다.
• 수치 실험을 통해 선형 및 비선형 다공성 탄성성 문제에 대해 이론적 안정성과 수렴 속도가 확인된다.
• 결합된 다공성 탄성-유체 네트워크 모델은 현실적인 폐 기하구조에서 타이달 호흡 동안 전반적인 생리학적 측정치를 재현한다.
• 시뮬레이션 결과 기도 폐색은 국소 조직 응력을 증가시키고 폐포 압력 분포를 변화시키며, 조직 약화는 통기 효율을 감소시킨다.