[논문 리뷰] A low-rank based estimation-testing procedure for matrix-covariate regression

Hung Hung, Zhi-Yu Jou|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 11.

Gene expression and cancer classification참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매트릭스 예측 변수의 잠재적인 저랭크 구조를 활용하여 효과 크기 추정과 유의성 검정을 동시에 수행하는 저랭크 매트릭스-공변량 회귀 방법을 제안한다. 기존의 고차원 접근 방식에 비해 추정 효율성과 탐지 능력이 크게 향상된다. 이 방법은 식별성 제약 조건이 없이 동시에 추론이 가능하며, 실제 생물의학 데이터에서 흩어진 또는 저랭크 효과를 식별할 수 있다.

ABSTRACT

Matrix-covariate is now frequently encountered in many biomedical researches. It is common to fit conventional statistical models by vectorizing matrix-covariate. This strategy, however, results in a large number of parameters, while the available sample size is relatively too small to have reliable analysis results. To overcome the problem of high-dimensionality in hypothesis testing, variance component test has been proposed with promise detection power, but is not straightforward to provide estimates of effect size. In this work, we overcome the problem of high-dimensionality by utilizing the inherent structure of the matrix-covariate. The advantage is that estimation and hypothesis testing can be conducted simultaneously as in the conventional case, while the estimation efficiency and detection power can be largely improved, due to a parsimonious parameterization for the coefficients of matrix-covariate. Our method is applied to test the significance of gene-gene interactions in the PSQI data, and is applied to test if electroencephalography is associated with the alcoholic status in the EEG data, wherein sparse effects and low-rank effects of matrix-covariates are identified, respectively.

연구 동기 및 목표

• 표본 수보다 훨씬 큰 매개변수 수(pq)를 가진 매트릭스-공변량 회귀에서의 고차원 추정 및 검정 문제를 해결한다.
• 고차원성으로 인해 안정성과 검정력이 떨어지는 기존의 벡터화 접근 방식의 한계를 극복한다.
• 매트릭스-공변량과 반응 변수 간의 총합관계 검정과 효과 크기 추정을 동시에 가능하게 하는 통합 추론 절차를 개발한다.
• 계수 매트릭스의 저랭크 파arameterization에 대한 식별성 제약 조건이 필요 없는 방법을 제공한다.
• 실제 데이터에서의 성능을 입증하여 PSQI 및 EEG 데이터 세트에서 생물학적으로 관련성이 있는 흩어진 및 저랭크 효과를 식별한다.

제안 방법

• 계수 매트릭스 $\boldsymbol{\eta}$ 를 저랭크 곱인 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^T$ 로 표현하여 효율적인 매개변수화를 달성한다.
• 벡터화 연산자를 사용하여 회귀 모델을 수립한다: $g\{E(Y|Z,\boldsymbol{M})\} = \gamma + \xi^T Z + \text{vec}(\boldsymbol{\eta})^T \text{vec}(\boldsymbol{M})$, 여기서 $\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^T$.
• 저랭크 구조를 기반으로 $H_0: \boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}$ 를 검정하기 위한 두 가지 검정 통계량 $T$ 와 $T^*$ 를 제안하며, 정규성 조건 하에서 渐近적 귀무분포를 유도한다.
• 유한 표본에서의 강건성을 확보하기 위해 파arametric 부트스트랩과 순열 검정을 사용하여 검정 통계량의 p-값을 계산한다.
• 저랭크 제약 조건 하에서 최대우도 추정을 통해 $\boldsymbol{\eta}$ 를 추정함으로써 효과 크기의 직접적인 해석이 가능하다.
• 모델링 이전에 고차원 매트릭스-공변량의 차원을 감소시키기 위해 다중선형 주성분 분석(MPCA)을 적용한다. EEG 데이터 분석에서와 같이.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표본 수 대비 매개변수 수가 많은 상황에서 저랭크 파arameterization 이 매트릭스-공변량 회귀에서 검출 능력을 향상시키는가?
• RQ2 기존의 벡터화 회귀에 비해 제안된 방법이 효과 크기 추정에서 더 정확하고 효율적인가?
• RQ3 이 방법은 실제 생물의학 데이터에서 흩어진 또는 저랭크 효과와 같은 생물학적으로 의미 있는 패턴을 식별할 수 있는가?
• RQ4 기존의 GESAT 등의 방법과 비교해 볼 때, 저랭크 검정의 유형 I 오류율과 검정력은 어떻게 되는가?
• RQ5 계수 매트릭스의 저랭크 분해에서 식별성 제약 조건이 없을 경우에도 이 방법은 강건한가?

주요 결과

• PSQI 데이터에서 저랭크 검정 통계량 $T$ 와 $T^*$ 는 각각 p-값 0.001과 0.006을 기록했고, GESAT는 p-값 0.173를 기록하여 유전자-유전자 상호작용 탐지 능력이 뛰어나다는 것을 시사한다.
• 분석을 통해 rs1144047, rs1327836, rs2269457, rs12941497 와 같은 특정 유전자-유전자 상호작용 3개가 유의미한 효과를 보였으며, 이는 PSQI 데이터에 흩어진 효과 구조가 존재함을 시사한다.
• EEG 데이터에서는 세 가지 검정 통계량($T$, $T^*$, $T_{\text{gesat}}$) 모두 p-값이 10^{-3} 이하로 나타나, EEG 신호와 알코올 중독 상태 간의 강한 연관성이 확인되었다.
• EEG 데이터에서 추정된 계수 매트릭스 $\widehat{\boldsymbol{\eta}}$ 는 대부분의 유의미한 효과가 두 번째 행에 집중되어 있음을 보여주며, 신호-반응 연관성에 저랭크 구조가 존재함을 시사한다.
• 이전의 접근 방식과 달리, 식별성 제약 조건을 도입하지 않아도 EEG 데이터에서 저랭크 효과를 성공적으로 식별하였다.
• 결과적으로 저랭크 모델링이 진정한 효과가 구조화되어 있을 경우 해석 가능성과 통계적 검정력 향상에 기여함을 확인하였다.