[논문 리뷰] A lower bound on the number of inequivalent APN functions

Christian Kaspers, Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 짝수 $m \geq 4$에 대해 유한체 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 상에서 CCZ-비등가인 거의 완전 비선형(APN) 함수의 수에 하한을 설정한다. Pott-Zhou APN 함수—$k$, $s$, 및 $\alpha$로 매개변수화된 함수—는 $k$와 $s$가 다를 경우 상호간에 CCZ-비등가임을 증명하여, 비등가 함수의 하한을 $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$로 도출한다. 또한 이러한 함수들의 자기동형군도 완전히 특성화되어 있다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a lower bound on the total number of inequivalent APN functions on the finite field with $2^{2m}$ elements, where $m$ is even. We obtain this result by proving that the APN functions introduced by Pott and the second author, that depend on three parameters $k$, $s$ and $α$, are pairwise inequivalent for distinct choices of the parameters $k$ and $s$. Moreover, we determine the automorphism group of these APN functions.

연구 동기 및 목표

• 짝수 $m \geq 4$에 대해 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 상에서 CCZ-비등가인 APN 함수의 수에 하한을 구하는 것.
• 다른 매개변수 $k$와 $s$를 가진 Pott-Zhou APN 함수들이 CCZ-비등가임을 증명하는 것.
• CCZ-등가성 및 EA-등가성 하에서 Pott-Zhou APN 함수의 자기동형군을 특성화하는 것.
• $\mathbb{F}_{2^n}$ 상에서 비등가인 APN 함수의 총 수에 대한 열린 문제를 다루며, 특히 $n$이 4의 배수일 경우에 초점을 맞추는 것.
• $\mathbb{F}_2$ 위의 짝수 차원 벡터 공간에서 비등가인 APN 함수의 성장에 대한 기준을 제공하는 것.

제안 방법

• Pott-Zhou APN 함수의 이변수 표현을 사용: $f_{k,s,\alpha}(x,y) = \left( x^{2^k+1} + \alpha y^{(2^k+1)2^s}, xy \right)$.
• CCZ-등가성 이론을 적용하여 두 함수가 언제 등가가 되는지 분석한다.
• 유한체의 성질과 선형다항식을 활용한 대수적 기법을 통해 등가성이 성립하지 않는 조건을 유도한다.
• 특히 $a^{2^k+1} = c$ 및 $\alpha^{2^u-1} = 1$의 해 구조에 중점을 두어 $\mathbb{F}_{2^m}$ 상에서 함수방정식을 해결함으로써 자기동형군을 분석한다.
• 소규모 사례($m = 2, 4$)에 대해 Magma를 사용한 계산적 검증을 통해 이론적 결과를 확인한다.
• Euler의 타우 함수 $\phi(m)$와 같은 수론적 도구를 활용하여 유효한 매개변수 조합의 수를 세는 데 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 매개변수 $k$와 $s$를 가진 Pott-Zhou APN 함수들은 항상 CCZ-비등가인가?
• RQ2 짝수 $m$에 대해 Pott-Zhou APN 함수의 정확한 자기동형군 크기는 얼마인가?
• RQ3 짝수 $m$에 대해 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 상에서 CCZ-비등가인 APN 함수의 수에 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 Pott-Zhou 구성의 구조는 다른 알려진 이차 APN 함수군과 비교해 등가성 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 비등가인 APN 함수의 수에 대한 하한이 4의 배수가 아닌 차원으로도 확장되는가?

주요 결과

• 짝수 $m \geq 4$에 대해 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 상에서 CCZ-비등가인 Pott-Zhou APN 함수의 수는 최소 $\left(\left\lfloor \frac{m}{4} \right\rfloor + 1\right) \cdot \frac{\phi(m)}{2}$ 이상이다.
• 두 Pott-Zhou APN 함수 $f_{k,s,\alpha}$와 $f_{\ell,t,\beta}$는 $k = \ell$ 및 $s = t$일 때에만 CCZ-등가이며, 이는 서로 다른 $k,s$를 가진 경우의 상호 비등가성을 증명한다.
• 선형 자기동형군 $\operatorname{Aut}_L(f_{k,s})$의 순서는 $s \in \{0, m/2\}$이면 $3m(2^m - 1)$이며, 그 외의 경우 $\frac{3}{2}m(2^m - 1)$이다.
• 전체 자기동형군 $\operatorname{Aut}(f_{k,s})$의 순서는 $s \in \{0, m/2\}$이면 $3m \cdot 2^m (2^m - 1)$이며, 그 외의 경우 $3m \cdot 2^{m-1} (2^m - 1)$이다.
• $m = 2$일 때, 유일한 Pott-Zhou APN 함수는 선형적으로 골드 함수 $x \mapsto x^3$와 등가이며, $|\operatorname{Aut}_L(f_{1,0})| = 360$이고 $|\operatorname{Aut}(f_{1,0})| = 5760$이다.
• $m > 2^{10}$일 때 하한 $\frac{m\sqrt{m}}{2}$가 성립하며, $m$이 2의 거듭제곱일 경우 상한 $\frac{m(m+4)}{16}$는 정확히 도달된다.