[논문 리뷰] A Lyapunov function construction for the Douglas-Rachford operator in a non-convex setting

Ohad Giladi, Björn S. Rüffer|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 29.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 4인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 직선과 세 번째 직선이 겹치는 비볼록 설정에서, 문제의 매개변수에 의존하는 명시적 공식을 사용하여 국소 리아푸노프 함수를 조합함으로써, 도울로프-라흐포드 연산자에 대한 전역 리아푸노프 함수를 구성한다. 이 방법은 이러한 비볼록 케이스에서 전역 수렴성과 강건한 안정성을 확립하며, 더 복잡한 다각형 기하 구조 분석의 프로토타입을 제공한다.

ABSTRACT

While global convergence of the Douglas-Rachford iteration is often observed in applications, proving it is still limited to convex and a handful of other special cases. Lyapunov functions for difference inclusions provide not only global or local convergence certificates, but also imply robust stability, which means that the convergence is still guaranteed in the presence of persistent disturbances. In this work, a global Lyapunov function is constructed by combining known local Lyapunov functions for simpler, local sub-problems via an explicit formula that depends on the problem parameters. Specifically, we consider the scenario where one set consists of the union of two lines and the other set is a line, so that the two sets intersect in two distinct points. Locally, near each intersection point, the problem reduces to the intersection of just two lines, but globally the geometry is non-convex and the Douglas-Rachford operator multi-valued. Our approach is intended to be prototypical for addressing the convergence analysis of the Douglas-Rachford iteration in more complex geometries that can be approximated by polygonal sets through the combination of local, simple Lyapunov functions.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 설정에서 도울로프-라흐포드 반복의 전역 수렴성 증명이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 기하학적으로 복잡한 비볼록 문제에서 국소 리아푸노프 함수로부터 전역 리아푸노프 함수를 체계적으로 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 다중 직선 교차를 포함하는 비볼록 시나리오에서 도울로프-라흐포드 연산자의 강건한 안정성을 확립하기 위해.
• 더 일반적인 다각형 집합 구성에 적용 가능한 프로토타입 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 간단한 하위문제에 대한 알려진 국소 리아푸노프 함수들을, 문제 매개변수에 명시적으로 의존하는 공식을 사용하여 전역 리아푸노프 함수로 조합한다.
• 공식은 문제 매개변수에 명시적으로 의존하여, 전역 함수가 국소 구성 요소의 안정성 성질을 그대로 이어받도록 보장한다.
• 분석은 특정 비볼록 케이스에 집중한다: 한 집합은 두 직선의 합집합이고, 다른 집합은 하나의 직선이며, 이 둘은 두 개의 서로 다른 점에서 만난다.
• 비볼록 기하학으로 인해 도울로프-라흐포드 연산자는 이 전역 설정에서 다중값 함수가 되며, 이에 따라 연산자의 행동을 신중하게 다뤄야 한다.
• 구성은 각 교차점 근처의 국소 구조를 활용하며, 여기서 문제는 잘 이해된 두 직선 교차로 축소된다.
• 결과로 도출된 전역 리아푸노프 함수는 전역 수렴성과 지속적인 외란이 존재하는 상황에서의 강건한 안정성을 모두 인증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 교차점이 있는 비볼록 설정에서 도울로프-라흐포드 연산자에 대한 전역 리아푸노프 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 간단한 하위문제에 대한 국소 리아푸노프 함수들을 어떻게 유효한 전역 리아푸노프 함수로 조합할 수 있는가?
• RQ3 결과로 도출된 전역 리아푸노프 함수는 지속적인 외란이 존재하는 상황에서 강건한 안정성을 보장하는가?
• RQ4 이 방법은 다각형 집합으로 근사되는 더 복잡한 비볼록 기하 구조로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 교차점이 있는 비볼록 설정에서 도울로프-라흐포드 연산자에 대한 전역 리아푸노프 함수가 성공적으로 구성되었다.
• 구성은 문제 매개변수에 의존하는 명시적 공식을 통해 국소 리아푸노프 함수를 조합하여 전체 정의역에서 유효함을 보장한다.
• 전역 리아푸노프 함수는 도울로프-라흐포드 반복의 전역 수렴성과 강건한 안정성을 모두 인증한다.
• 이 방법은 다각형 집합으로 구성된 더 복잡한 비볼록 기하 구조에서의 수렴성 분석을 위한 프로토타입을 제공한다.