[논문 리뷰] A MacCormack Method for Complete Shallow Water Equations with Source Terms

Eric Ngondiep, Alqahtani T. Rubayyi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 20.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소스 항을 포함한 1D 완전한 얕은 수면 방정식에 대해 두 번째 차수 정확도를 갖는 MacCormack 유한차분 스킴을 제시한다. 이 스킴은 경직성 있는 마찰 경사와 진동을 억제하기 위해 분할 단계와 업윈딩을 통합한다. 이 방법은 적절한 시간 간격과 메쉬 크기 조건 하에서 두 번째 차수 수렴성을 확보하며, 분석적 및 수치적 비교를 통해 안정성과 정확도가 입증된다.

ABSTRACT

In the last decades, more or less complex physically-based hydrological models, have been developed to solve the shallow water equations or their approximations using various numerical methods. The MacCormack method was developed for simulating overland flow with spatially variable infiltration and microtopography using the hydrodynamic flow equations. The basic MacCormack scheme is enhanced when it uses the method of fractional steps to treat the friction slope or a stiff source term and to upwind the convection term in order to control the numerical oscillations and stability. In this paper we describe, the MacCormack scheme for 1D complete shallow water equations with source terms, analyze the stability condition of the method and we provide the convergence rate of the algorithm. This work improves some well known results deeply studied in the literature which concern the Saint-Venant problem and it represents an extension of the time dependent shallow water equations without source terms. The numerical evidences consider the rate of convergence of the method and compares the numerical solution respect to the analytical one.

연구 동기 및 목표

• 소스 항(마찰 및 하구 경사 효과 포함)을 고려한 1D 완전한 얕은 수면 방정식을 위한 안정적인 수치적 스킴을 개발한다.
• 기본 MacCormack 스킴을 분할 단계와 업윈딩을 통해 개선하여 안정성을 향상시키고 수치적 진동을 감소시킨다.
• 푸리에 분석을 통해 수정된 스킴의 안정성 조건을 분석하고, 수치적으로 수렴 속도를 검증한다.
• 시간에 따라 변화하는 강우 초과량이 있는 지표유출에 대한 해석적 해와의 비교를 통해 방법을 검증한다.
• 작은 수심과 급경사 지역에서 조건을 만족할 때도 균형 잡힌 상태와 양수성 유지가 보장되도록 한다.

제안 방법

• 스킴은 시간에 대한 두 번째 차수 테일러 급수와 공간에 대해 네 번째 차수 정확도를 기반으로 한 두 단계 예측-수정 접근법을 적용한다.
• 분할 단계 방법을 사용하여 소스 항, 특히 마찰 경사를 분리하여 경직성 문제를 다룬다.
• 대류 항에 대해 업윈딩을 적용하여 수치적 진동을 억제하고 안정성을 향상시킨다.
• 시스템은 보존 법칙 형태로 재구성된다: ∂W/∂t + ∂F/∂x = S, 여기서 W = (A, Q), F = (Q, gA²/(2T) + Q²/A), S = (r, gA(S₀ - S_f)).
• 안정성은 푸리에 분석을 통해 분석되며, Δt와 Δx에 대한 CFL 유사 제약 조건을 도출한다.
• 수렴성은 정밀한 메쉬에서의 단면 A와 유량 Q에 대한 L² 오차를 사용하여 수치적으로 평가된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 MacCormack 스킴은 소스 항을 포함한 1D 얕은 수면 방정식에서 두 번째 차수 수렴성을 유지하는가?
• RQ2 분할 단계와 업윈딩의 포함이 MacCormack 스킴의 안정성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 메쉬 크기와 시간 간격은 수치적 해의 안정성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 작은 수심 영역에서 스킴이 양수성을 유지하고 임의의 진동을 방지할 수 있는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 강우 초과량 사례에서 수치적 해가 해석적 해와 얼마나 잘 일치하는가?

주요 결과

• MacCormack 스킴은 표본 1에서 L² 오차 노름을 통해 단면 A와 유량 Q 양쪽 모두에서 두 번째 차수 수렴성을 확보한다.
• A에 대한 수렴 속도는 약 2.0이며, 메쉬를 계속 세분화함에 따라 각각 2.0000, 2.0645, 1.9787의 값을 보인다.
• 시험 케이스에서 유량 Q에 대한 수치적 해는 정확히 해석적 해와 일치하며, L² 오차가 0이다.
• 안정성은 조건부이다: Δt와 Δx가 유도된 안정성 제약 조건 (101)을 만족할 때에만 스킴은 안정성을 유지한다.
• 수치적 해는 시간이 지남에 따라 증가하지 않으며 해석적 해 쪽으로 수렴하므로, 적절한 매개변수 선택 하에서 강건함을 보인다.
• 업윈딩과 분할 단계를 적용할 경우, 작은 수심 영역에서조차도 수치적 진동을 효과적으로 억제하고 양수성을 유지한다.