[논문 리뷰] A Marked Cox Model for IBNR Claims: Model and Theory

Andrei L. Badescu, X. Sheldon Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 19.

Probability and Risk Models참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 재해 및 손해 보험에서 보험 청구 도착 과정과 보고 지연을 모델링하기 위해 은폐 마코프 체인을 통해 시간적 의존성을 반영한 표시된 콕스 과정 모델을 제안한다. 주요 기여는 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정이 모두 닫힌 형태의 자기상관함수와 귀속 분포를 갖는 표시된 콕스 과정임을 보여주며, 이는 추론과 예측을 위한 다루기 쉬운 기반을 제공한다.

ABSTRACT

Incurred but not reported (IBNR) loss reserving is an important issue for Property & Casualty (P&C) insurers. The modeling of the claim arrival process, especially its temporal dependence, has not been closely examined in many of the current loss reserving models. In this paper, we propose modeling the claim arrival process together with its reporting delays as a marked Cox process. Our model is versatile in modeling temporal dependence, allowing also for natural interpretations. This paper focuses mainly on the theoretical aspects of the proposed model. We show that the associated reported claim process and IBNR claim process are both marked Cox processes with easily convertible intensity functions and marking distributions. The proposed model can also account for fluctuations in the exposure. By an order statistics property, we show that the corresponding discretely observed process preserves all the information about the claim arrival epochs. Finally, we derive closed-form expressions for both the autocorrelation function (ACF) and the distributions of the numbers of reported claims and IBNR claims. Model estimation and its applications are considered in a subsequent paper, Badescu et al.(2015b)

연구 동기 및 목표

• 기존의 IBNR 손해 보상 예측 프레임워크, 특히 마이크로 수준 모델에서 시간적 의존성 모델링의 부족을 해결하기 위해.
• 포트폴리오 전체 환경 요인에 기인한 청구 도착의 의존성을 포괄하는 융통성 있고 수학적으로 다루기 쉬운 모델을 개발하기 위해.
• 제안된 모델 하에서 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정을 표시된 콕스 과정으로 공식적으로 특성화하기 위해.
• 도착 과정의 순서 통계 성질을 활용하여 이산적으로 관측된 데이터에서 원래의 도착 시점에 대한 전부의 정보를 유지하기 위해.
• 보고된 청구 수와 IBNR 청구 수의 자기상관함수 및 귀속 분포에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하기 위해.

제안 방법

• 시간적 의존성을 유도하기 위해 은폐 마코프 체인에 의해 구동되는 표시된 콕스 과정으로 청구 도착 과정과 보고 지연을 모델링하기 위해.
• 상태에 따라 달라지는 강도 함수와 마킹 분포를 갖는 표시된 콕스 과정을 사용하여 청구 도착과 보고 지연을 표현하기 위해.
• 이산적으로 관측된 청구 도착 과정이 원래의 도착 시점에 대한 전부의 정보를 유지한다는 것을 보여주기 위해 순서 통계 성질을 적용하기 위해.
• 기저의 표시된 콕스 과정의 변환을 통해 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정의 강도 함수와 마킹 분포를 유도하기 위해.
• 모델 하에서 보고된 청구 수와 IBNR 청구 수의 귀속 분포를 표현하기 위해 파스칼 혼합 표현을 활용하기 위해.
• 이산화 하에서도 보고된 과정과 IBNR 과정의 공동 분포가 유지된다는 것을 입증하여 데이터 피팅과 추론이 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은폐 마코프 체인을 갖는 표시된 콕스 과정이 시간적 의존성을 적절히 모델링하면서도 해석 가능성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 제안된 표시된 콕스 모델 하에서 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정의 확률적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이 모델 하에서 이산적으로 관측된 청구 과정의 자기상관함수(Autocorrelation Function, ACF)의 구조는 어떠한가?
• RQ4 보고된 청구 수와 IBNR 청구 수의 귀속 분포에 대해 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 모델은 노출의 변동성을 어떻게 고려하면서도 수학적 다루기 쉬운 성질을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정은 모두 강도 함수와 마킹 분포를 쉽게 변환할 수 있는 표시된 콕스 과정이다.
• 도착 과정의 순서 통계 성질 덕분에 이산적으로 관측된 청구 과정이 원래의 청구 도착 시점에 대한 전부의 정보를 유지한다.
• 이산적으로 관측된 보고된 청구 과정과 IBNR 청구 과정의 자기상관함수(Autocorrelation Function, ACF)에 대해 닫힌 형태의 표현식이 도출되었다.
• 시간 τ까지의 보고된 청구 수의 귀속 분포는 매개수 θ^r를 갖는 단변량 파스칼 혼합이며, 마찬가지로 IBNR 청구 수의 귀속 분포는 매개수 θ^IBNR를 갖는 단변량 파스칼 혼합이다.
• 모델은 노출의 변동성을 수용할 수 있으며, 은폐 마코프 체인의 구조를 통해 시간적 의존성의 자연스러운 해석을 가능하게 한다.
• 이론적 결과는 이 모델이 과도산산도 포isson 모델보다 더 정확한 최적 추정치와 더 현실적인 예측 분포를 도출할 수 있음을 시사하며, 이는 후속 실증 연구(Badescu 등, 2015b)에서 확인되었다.