[논문 리뷰] A mass-lumped mixed finite element method for acoustic wave propagation

Herbert Egger, Bogdan Radu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 12.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정점 메esh에서 음파 전파를 위한 BDM₁–P₀ 요소를 사용하는 질량 락킹 혼합 유한요소법을 제시한다. 질량 띅킹으로 인해 일阶 정확도를 갖지만, 초수렴(super-convergence)을 보이며, 투영 기반 복구를 통해 속도와 압력에 대해 조각별 선형 근사값을 두 번째 정확도로 복구할 수 있다. 이는 완전한 수렴 분석과 최적 수렴률을 보인 수치 실험을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of acoustic wave propagation in the time domain by a mixed finite element method based on the BDM1-P0 spaces. A mass-lumping strategy for the BDM1 element, originally proposed by Wheeler and Yotov in the context of subsurface flow problems, is utilized to enable an efficient integration in time. By this mass-lumping strategy, the accuracy of the mixed method is formally reduced to first order. We will show, however, that the numerical approximation still carries global second order information, which is expressed as super-convergence of the numerical approximation to certain projections of the true solution. Based on this fact, we propose post-processing strategies for both variables, the pressure and the velocity, which yield piecewise linear approximations of second order accuracy. A complete convergence analysis is provided for the semi-discrete and corresponding fully-discrete approximations, which result from time discretization by the leapfrog method. In addition, some numerical tests are presented to illustrate the efficiency of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 비정점 메쉬에서 음파 전파를 위한 효율적이고 명시적 시간 적분 스킴을 혼합 유한요소법을 사용하여 개발한다.
• BDM₁–P₀ 혼합 유한요소법에서 질량 락킹으로 인한 정확도 손실 문제를 해결한다. 이는 일관성의 정확도를 일계로 낮춘다.
• 초수렴을 기반으로 한 후처리 전략을 통해 속도와 압력에 대해 두 번째 정확도를 복구한다.
• 레프트로그 시간 이산화를 사용한 반연속 및 완전 이산화 스킴에 대한 완전한 수렴 분석을 제공한다.
• 표준 가정이 성립하지 않는 곡선 영역과 비凸 영역에서도 방법의 강건성을 보여준다.

제안 방법

• 비정점 삼각형 메쉬에서 H(div) 및 L² 적합성을 확보하기 위해 속도와 압력에 대해 BDM₁–P₀ 혼합 유한요소 쌍을 사용한다.
• Wheeler와 Yotov의 접근 방식에 기반한 질량 락킹 전략을 적용하여 블록 대각 질량 행렬을 생성함으로써 명시적 시간 적분을 가능하게 한다.
• 지하수류 이론에서 유래한 근사 타원형 투영(elliptic projection)을 사용하여 진짜 해의 대상 투영을 정의하고 오차 분석을 가능하게 한다.
• 원래의 일계 혼합 유한요소 해에서 속도와 압력의 조각별 선형 근사값을 재구성하기 위한 후처리 절차를 도입한다.
• 후처리 해를 레프트로그 스킴과 결합하여 시간 이산화를 수행함으로써 안정성과 명시적 계산을 확보한다.
• 수렴 연구에서 다양한 메쉬 레벨 간 오차 비교를 위해 중첩 메쉬 간 연장 연산자(prolongation operators)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BDM₁–P₀ 혼합 유한요소법에서 음파 방정정식에 대한 질량 락킹이 일계 일致성에도 불구하고 두 번째 정확도 수렴 정보를 유지할 수 있는가?
• RQ2 비정점 메쉬에서 질량 락킹이 존재하는 조건에서도 후처리 기법이 속도와 압력에 대해 두 번째 정확도를 복구할 수 있는가?
• RQ3 표준 가정이 성립하지 않는 곡선 또는 비凸 영역에서도 제안된 방법이 최적 수렴률을 유지하는가?
• RQ4 질량 락킹, 후처리, 레프트로그 시간 적분을 병합한 완전 이산화 스킴의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ5 메쉬가 기하학적으로 왜곡되거나 곡선 경계에 정확하게 맞춰지지 않더라도 후처리 해가 여전히 두 번째 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 질량 락킹으로 인해 표준 의미에서 일계 정확도를 보이지만, 수치 해는 진짜 해의 투영된 형태로 초수렴(super-convergence)을 보인다.
• 속도와 압력 근사값은 두 번째 정확도로 투영된 해로 수렴한다. 즉, ‖uₕ* − uₕ‖ + ‖pₕ* − pₕ‖ ≤ Ch² 이다.
• 후처리를 통해 조각별 선형 근사값(ũₕ, ṕₕ)을 복구할 수 있으며, 이는 두 번째 정확도를 달성한다: ‖u(t) − ũₕ(t)‖ + ‖p(t) − ṕₕ(t)‖ ≤ Ch².
• 레프트로그 시간 이산화를 사용한 완전 이산화 스킴에서는 후처리 해가 ‖u(tⁿ) − ũₕⁿ‖ + ‖p(tⁿ) − ṕₕⁿ‖ ≤ C(h² + τ²) 를 만족함으로써 공간과 시간에서 최적 수렴을 확인한다.
• 곡선 경계를 가진 파동 산산파손 문제에 대한 수치 실험에서, 볼록성 가정이 위반되거나 기하 구조가 근사된 경우에도 두 번째 수렴률(eoc ≈ 2.0)을 보였다.
• 비정점 메쉬에서도 방법은 강건하고 효율적이며, 후처리를 통해 두 번째 정확도를 달성하면서도 완전히 명시적 시간 적분을 가능하게 한다.