[논문 리뷰] A mathematical explanation via "intelligent" PID controllers of the strange ubiquity of PIDs

B. D’Andrea Novel, Michel Fliesś외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 04.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 2인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 고전적 PID 컨트롤러의 광범위한 사용에 대한 수학적 설명을 제공한다. 고전적 PID 컨트롤러의 이산시간 행동이 '지능형' PID 컨트롤러의 구조적 동역학을 근사한다는 점을 보여주며, 이는 모델 기반 제어 이론에 기반한 최신의 '지능형' 적응형 조절기와 유사하다. 주요 발견은 적절하게 튜닝된 고전적 PID 컨트롤러가 이론적으로 알려지지 않은 시스템의 구조를 이득을 통해 암묵적으로 고려하지만, 지능형 PID 컨트롤러는 더 뛰어난 내구성, 고장 내성, 그리고 더 간단한 튜닝을 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

The ubiquity of PID controllers in the industry has remained mysterious until now. We provide here a mathematical explanation of this strange phenomenon by comparing their sampling with the the one of "intelligent" PID controllers, which were recently introduced. Some computer simulations nevertheless confirm the superiority of the new intelligent feedback design.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템이나 복잡한 시스템에 대한 이론적 근거가 부족한 바에도 불구하고 고전적 PID 컨트롤러가 왜 산업 현장에서 이렇게 널리 사용되는지 오랫동안 남아 있는 의문을 해결하기 위해.
• 최근 개발된 '지능형' PID 컨트롤러와 고전적 PID 컨트롤러 사이의 수학적 연결을 수립하기 위해.
• 고전적 PID 컨트롤러의 효과성이 샘플링된 상태에서 지능형 컨트롤러의 구조적 적응을 근사할 수 있다는 능력에서 기인한다는 것을 입증하기 위해.
• 비선형성, 파rameter 변화, 고장 상황에서 고전적 PID 컨트롤러가 실패하는 상황에서 지능형 PID 컨트롤러가 갖는 이점(내구성, 튜닝 용이성, 고장 내성 등)을 강조하기 위해.
• 지능형 PID 컨트롤러의 내구성과 단순성 덕분에 제어 공학 교육 및 응용 분야에서 고전적 PID 컨트롤러에서 지능형 PID 컨트롤러로의 패러다임 전환을 촉진하기 위해.

제안 방법

• 시스템을 $ y^{(\nu)} = F + \alpha u $ 로 모델링하며, $ \nu = 1 $ 또는 $ 2 $ 이고, $ F $ 는 수치 미분기를 사용해 실시간으로 추정한다.
• 추정된 $ F $ 와 $ \alpha $ 를 직접 사용해 제어 입력을 계산하는 '지능형' PID(i-PID) 컨트롤러를 도입한다: $ u = \frac{1}{\alpha}(-F + \ddot{y}^* + K_P e + K_I \int e + K_D \dot{e}) $.
• 고전적 및 지능형 컨트롤러의 이산시간 행동을 비교하기 위해 근사적인 시간 샘플링을 수행한다.
• 리만 합 근사를 통해 고전적 PID 이득($ k_p, k_i, k_d $)과 지능형 컨트롤러 이득($ K_P, K_I, K_D $) 사이의 명시적 대수적 관계를 유도한다.
• 비선형 시스템 $ \dot{y} + y^3 = 2u $ 에 대해 설정값 변화, 파rameter 변화, 액추에이터 고장 상황에서 고전적 PI와 i-PI 컨트롤러를 비교한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 설정값 변화, 파rameter 변화, 액추에이터 고장 상황에서의 성능을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 또는 복잡한 시스템에 대한 이론적 근거가 없음에도 불구하고 고전적 PID 컨트롤러가 산업 응용에서 왜 이렇게 널리 사용되는가?
• RQ2 고전적 PID 컨트롤러의 이득이 알려지지 않은 비선형 시스템의 구조적 특성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 고전적 PID 컨트롤러의 샘플링된 행동이 지능형 PID 컨트롤러의 행동을 어느 정도 근사하는가?
• RQ4 지능형 PID 컨트롤러는 내구성, 튜닝 용이성, 고장 내성 측면에서 고전적 PID 컨트롤러보다 어떤 이점을 제공하는가?
• RQ5 고전적 PID 컨트롤러의 성공이 지능형 제어 원리의 잠재적 근사로 수학적으로 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 고전적 PI 및 PID 컨트롤러의 샘플링된 행동은 지능형 PID 컨트롤러의 구조적 적응을 근사하며, 이는 그들의 경험적 성공을 설명한다.
• 고전적 PID 이득과 지능형 컨트롤러 이득 사이의 수학적 관계는 다음과 같다: $ k_p = K_D / (\alpha h) $, $ k_i = K_P / (\alpha h) $, $ k_{ii} = K_I / (\alpha h) $, 그리고 $ k_d = -1 / (\alpha h) $.
• 지능형 PID 컨트롤러는 시스템 식별이나 복잡한 튜닝 규칙이 필요로 하지 않으며, 반면 고전적 PID 컨트롤러는 복잡한 히우리스틱 방법에 의존한다.
• 큰 설정값 변화나 시스템 파rameter 변화 상황에서 고전적 PI 컨트롤러는 성능이 크게 떨어지지만, i-PI 컨트롤러는 안정적인 성능을 유지한다.
• 액추에이터 고장(예: 샘플당 0.4%의 출력 손실) 상황에서 i-PI 컨트롤러는 고전적 PI 컨트롤러보다 훨씬 뛰어난 고장 내성을 보였다.
• α = 1, $ K_P = 6 $, $ K_I = 9 $ 인 i-PI 컨트롤러는 다양한 운영 조건에서 校정이 필요로 하지 않았고, 반면 고전적 PI 컨트롤러는 시스템 변화 후 재튜닝이 필요로 하였다.