[논문 리뷰] A Mathematical Framework for IMU Error Propagation with Applications to Preintegration

Axel Barrau, Silvère Bonnabel|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 08.

Inertial Sensor and Navigation참고 문헌 39인용 수 56

한 줄 요약

본 논문은 확장 포즈(위치, 속도, 방향)를 포함하도록 IMU 오차를 모델링하고 전파하기 위해 SE2(3)를 사용하는 Lie-그룹 기반 프레임워크를 개발하고, 지구의 회전 효과를 포함한 정확한 프리인테그레이션 공식을 도출하며 불확실성 및 바이어스 처리를 다룬다.

ABSTRACT

To fuse information from inertial measurement units (IMU) with other sensors one needs an accurate model for IMU error propagation in terms of position, velocity and orientation, a triplet we call extended pose. In this paper we leverage a nontrivial result, namely log-linearity of inertial navigation equations based on the recently introduced Lie group $SE_2(3)$, to transpose the recent methodology of Barfoot and Furgale for associating uncertainty with poses (position, orientation) of $SE(3)$ when using noisy wheel speeds, to the case of extended poses (position, velocity, orientation) of $SE_2(3)$ when using noisy IMUs. Besides, our approach to extended poses combined with log-linearity property allows revisiting the theory of preintegration on manifolds and reaching a further theoretic level in this field. We show exact preintegration formulas that account for rotating Earth, that is, centrifugal force and Coriolis effect, may be derived as a byproduct.

연구 동기 및 목표

• IMU 오차 전파 추정을 포즈(SE(3))에서 확장 포즈(SE2(3))로 확장하여 위치, 속도, 방향을 포함하도록 한다.
• SE2(3) 내에서 IMU 항법 방정식의 로그-선형성을 보이게 하여 매니폴드에서의 강건한 프리인테그레이션 가능성을 확보한다.
• 회전하는 지구를 고려한 코리올리 효과 및 구심 효과를 반영하는 정확한 프리인테그레이션 공식을 제시하고 이를 온-매니폴드 필터링과 연계한다.
• 확장 포즈에 불확실성을 부여하는 프레임워크를 개발하고 IMU 데이터의 노이즈와 바이어스의 전파 방정식을 도출한다.
• SE2(3)에서의 지수 좌표를 사용한 프리인테그레이션의 바이어스의 1차 보정에 대해 다루고 업데이트 규칙을 제안한다.

제안 방법

• 확장 포즈를 SE2(3)의 원소로 모델링하고 9차 Lie 대수의 지수 맵을 사용하여扰 pertubation를 표현한다.
• IMU 다이나믹스에 대한 군-족(그룹 어파인) 성질을 보이고 T_t = Γ_t Φ_t(T_0) Υ_t의 정확한 해 형태를 유도한다.
• 회전 지구를 도입하여 속도 보강 V′ = V + Ω×X 를 도입하고 SE2(3)에 내재화하여 프리인테그레이션 공식을 유도한다.
• 농도화된 가우시안이 SE2(3)에서의 정확한 이산 시간 오차 전이를 가지며 Ad_Υ^{-1} 및 F 연산자를 통해 선형화된 오차 전파를 얻는다.
• SE2(3)에서 T = T̄ exp(ξ)로 정의된 가우시안이 ξ ∼ N(0, Σ)일 때 노이즈 없는 IMU 모델을 통해 정확히 전파될 수 있으며 지수 좌표에서 선형에 가까운 오차 전파를 얻는다.
• 노이즈가 있는 IMU 데이터에 대해 오차 누적 공식 exp(ξ_k) = exp(F_0^{k-1} ξ_0) · ∏_{i=0}^{k-1} exp(F_{i+1}^{k-1} η_i)를 확립하여 불확실성의 정확한 또는 닫힌 형태의 추적을 가능하게 한다(BCH의 1차 근사).
• 프리인테그레이션의 바이어스에 대한 1차 보정은 SE2(3)의 지수 좌표를 통해 용이하게 수행되며 바이어스 업데이트에 대한 정밀한 야코비안들을 제공한다.
• 프레임워크는 SE2(3) 기반의 불확실성 처리와 프리인테그레이션 이론을 연결하고 고속 IMU 융합에 대한 실제적 팩터 그래프 접근법을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장 포즈(위치, 속도, 방향) 내에서 SE2(3)로 IMU 오차 전파를 어떻게 형상화할 수 있는가?
• RQ2 지구의 회전에 따른 코리올리 및 구심 효과를 반영할 때 SE2(3)에서 IMU 다이나믹스의 로그-선형성 속성은 유지되는가?
• RQ3 지구의 회전 및 바이어스/노이즈를 고려한 SE2(3)에서 정확하거나 닫힌 형태의 프리인테그레이션 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 확장 포즈에 불확실성을 어떻게 부여하고 IMU 기반 프리인테그레이션을 통해 그것을 어떻게 전파하는가?
• RQ5 SE2(3) 프리인테그레이션 프레임워크에서 IMU 바이어스의 영향과 보정 메커니즘은 무엇이며 어떻게 작동하는가?

주요 결과

• SE2(3)에서의 IMU 항법 방정식은 로그-선형성을 보이며 회전 지구 고려하에 매니폴드에서의 프리인테그레이션이 가능하다.
• 코리올리 및 구심 효과를 고려하는 정확한 프리인테그레이션 공식이 도출되며 속도 보강 V′ = V + Ω×X가 포함된 트릭이 포함된다.
• T = T̄ exp(ξ) with ξ ∼ N(0, Σ)로 정의된 SE2(3)의 가우시안은 노이즈가 없는 IMU 모델을 통해 정확히 전파될 수 있으며 지수 좌표에서의 오차 전파가 선형에 가깝다.
• 소음 있는 IMU 데이터에 대해 exp(ξ_k) = exp(F_0^{k-1} ξ_0) · ∏_{i=0}^{k-1} exp(F_{i+1}^{k-1} η_i) 형태의 명시적 오차 누적 공식을 확립하여 최초 차수의 BCH 근사로 불확실성 추적을 가능하게 한다.
• 프리인테그레이션의 1차 바이어스 보정은 SE2(3)의 지수 좌표를 통해 가능하며 바이어스 업데이트를 위한 정밀한 야코비안을 제공한다.
• 이 프레임워크는 SE2(3) 기반의 불확실성 처리와 프리인테그레이션 이론을 연결하고 고주파 IMU 융합을 위한 실용적 팩터 그래프 접근법을 지원한다.