[논문 리뷰] A Mathematical Framework for Resilience: Dynamics, Strategies, Shocks and Acceptable Paths

Michel De Lara|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 05.

Ecosystem dynamics and resilience참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불확실성 하에서 제어 이론을 활용한 복원력에 대한 수학적 프레임워크를 제안하며, 복원력을 충격에도 불구하고 수용 가능한 복구 영역 내에서 시스템 상태-제어 과정이 유지될 수 있는 능력으로 정의한다. 잔여 위험을 정량화하기 위해 위험 측도를 통합하고, 랜덤 과정에 대한 제어 가능성의 한 형태로 복원력을 체계화하여 헬링 및 타당성 이론과 같은 이전 접근법을 확장한다.

ABSTRACT

Resilience is a rehashed concept in natural hazard management - resilience of cities to earthquakes, to floods, to fire, etc. In a word, a system is said to be resilient if there exists a strategy that can drive the system state back to "normal" (acceptable states) after a shock. What formal flesh can we put on such malleable notion? We propose to frame the concept of resilience in the mathematical garbs of control theory under uncertainty. Our setting covers dynamical systems both in discrete or continuous time, deterministic or subject to uncertainties. Our definition of resilience extends others, be they "a la Holling" or rooted in viability theory. Indeed, we require that, after a shock, the system returns to an acceptable "regime" , that is, that the state-control path as a whole must return to a set of acceptable paths (and not only the state values must belong to an acceptable subset of the state set). More generally, as state and control paths are contingent on uncertainties, we require that their tails processes must lay within acceptable domains of stochastic processes. We end by pointing out how such domains can be delineated thanks to so called risk measures.

연구 동기 및 목표

• 불확실성 하에서 동적 시스템의 복원력을 제어 이론적 성질로 체계화하기.
• 고정된 집합으로의 상태 복구가 아니라, 수용 가능한 복구 영역 내에서 전체 상태-제어 경로를 유지하는 것임을 복원력으로 정의하기.
• 적응 전략 하에서 잔여 위험을 정량화하기 위해 복원력 평가에 위험 측도를 통합하기.
• 헬링의 개념이나 타당성 이론과 같은 기존 복원력 개념을 확장하기 위해 복원력을 랜덤 과정에 대한 제어 가능성으로 프레임워크화하기.
• 이산 또는 연속 시간, 결정론적 또는 확률적 시스템에 모두 적용 가능한 일반적이고 수학적으로 엄밀한 기초 제공하기.

제안 방법

• 적응 전략을 통해 상태-제어 경로가 위험 측도로 정의된 확률적 복구 영역 내에 유지되도록 복원력을 체계화한다.
• 일반적인 시간 집합 T ⊆ ℝ을 사용하여 이산, 연속 또는 하이브리드 시간 척도를 모두 허용한다.
• 상태 xt ∈ Xt, 제어 ut ∈ Ut, 자연 ω ∈ Ω로 시스템을 모델링하며, Ω에 대해 확률적 구조를 가정하지 않는다.
• 복구 영역을 랜덤 과정의 부분집합으로 정의하고, 위험 측도(예: 조건부가치하위위험)를 사용해 수용 가능한 위험 수준을 정량화한다.
• 비용 함수 Ψt가 상태-제어 경로와 자연 결과에 대해 정의된 실수값 위험 평가로 매핑하는 확장된 위험 측도 Gt[·]를 도입한다.
• 복원 전략 집합에서의 위험 최소화 문제의 해로서 복원력 지표를 제안하며, 예를 들어 기대 비용 또는 최악의 경우 비용을 최소화하는 방식이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불확실성과 적응 제어 전략을 고려한 복원력을 어떻게 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 왜 복원력은 단지 상태 값에 대한 제어 가능성이라기보다 전체 랜덤 과정에 대한 제어 가능성의 형태로 간주되어야 하는가?
• RQ3 위험 측도는 복원력 분석에서 수용 가능한 복구 영역을 어떻게 정의하고 정량화할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 헬링이나 타당성 이론과 같은 기존 복원력 개념을 어떻게 일반화하거나 향상시키는가?
• RQ5 위험 최소화 목표를 통해 최적의 복원 전략을 선택할 경우 어떤 함의가 있는가?

주요 결과

• 복원력은 수용 가능한 위험 수준으로 정의된 복구 영역 내에서 전체 상태-제어 경로가 유지되도록 보장하는 적응 전략의 존재로 체계화된다.
• 이 프레임워크는 복원력을 고정된 수용 가능한 상태 집합에 속하는 것뿐만 아니라, 랜덤 과정에 대한 제어 가능성으로 간주함으로써 이전 정의를 일반화한다.
• 조건부가치하위위험과 같은 위험 측도를 사용하여 복구 영역을 명확히 정의할 수 있으며, 이는 복원력 하에서 잔여 위험을 정량화할 수 있게 한다.
• 복원력 지표는 복원 전략 집합에서의 위험 최소화 문제의 해로서 유도될 수 있으며, 예를 들어 기대 비용 또는 최악의 경우 비용을 최소화하는 방식이다.
• 이 방법은 이산 및 연속 시간 시스템 모두에 널리 적용 가능하며 하이브리드 동역학을 지원하여 이전 모델보다 일반성을 높인다.
• 그럼에도 불구하고 이 프레임워크는 화이트 노이즈 가정이 없기 때문에, 특히 동적 프로그래밍의 맥락에서 효율적인 해법이 아직 부족하다.