[논문 리뷰] A mathematical proof of the existence of trends in financial time series

Michel Fliess, Cédric Join|arXiv (Cornell University)|2009. 01. 14.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 3인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비표준 해석학과 카티에 및 페린의 정리에 기반하여 금융 시계열에서 지속적인 추세의 존재를 증명하며, 랜덤 워크 가정과 효율적 시장 가정을 도전한다. 저역통과 필터링 및 제어 이론 기법을 적용하여 랜덤 워크 행동과 공존하는 추세를 탐지하지만, 블랙-숄즈 모델의 가정과는 정면으로 배치된다.

ABSTRACT

low-pass filters, nonstandard analysis, operational calculus. We are settling a longstanding quarrel in quantitative finance by proving the existence of trends in financial time series thanks to a theorem due to P. Cartier and Y. Perrin, which is expressed in the language of nonstandard analysis (Integration over finite sets, F. & M. Diener (Eds): Nonstandard Analysis in Practice, Springer, 1995, pp. 195–204). Those trends, which might coexist with some altered random walk paradigm and efficient market hypothesis, seem nevertheless difficult to reconcile with the celebrated Black-Scholes model. They are estimated via recent techniques stemming from control and signal theory. Several quite convincing computer simulations on the forecast of various financial quantities Our aim is to settle a severe and longstanding quarrel between 1. the paradigm of random walks 1 and the related efficient market hypothesis [15] which are the bread and butter of modern financial mathematics,

연구 동기 및 목표

• 금융 시계열에 추세가 존재하는지에 대한 오랜 동안의 정량 금융 분야의 논란을 해결하기 위해.
• 랜덤 워크 및 효율적 시장 가정 이론과 공존하는 추세의 존재를 조율하기 위해.
• 지속적인 추세가 없는 것으로 가정하는 블랙-숄즈 모델의 가정을 도전하기 위해.
• 비표준 해석학과 유한 집합에 대한 통합을 통해 추세에 대한 수학적 기반을 제공하기 위해.
• 신호 처리 및 제어 이론 기법을 통해 이러한 추세의 탐지 가능성과 타당성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 비표준 해석학에서 P. 카티에 및 Y. 페린의 정리를 활용하여 유한 집합에 대한 통합을 정의한다.
• 금융 시계열에서 장기 성분을 추출하기 위해 저역통과 필터링 기법을 적용한다.
• 비표준 해석학의 맥락에서 일반화된 함수와 미분방정식을 다루기 위해 작동 계산법을 활용한다.
• 제어 및 신호 이론 방법을 사용하여 노이즈가 많은 금융 데이터에서 추세의 존재를 추정하고 검증한다.
• 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 다양한 금융 수량에 걸쳐 추세 추정의 탐지 가능성과 일관성을 입증한다.
• 비표준 해석학의 프레임워크 내에서 이산적이고 유한한 시계열에서 추세의 개념을 체계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 워크 가정이 지배하는 상황에서도 금융 시계열에 지속적인 추세가 존재하는가?
• RQ2 효율적 시장 가정 및 랜덤 워크 모델과 공존하는 추세가 모순 없이 존재할 수 있는가?
• RQ3 추세가 존재할 경우, 블랙-숄즈 모델의 가정은 어느 정도 붕괴되는가?
• RQ4 비표준 해석학이 유한하고 이산적인 금융 데이터에서 추세를 탐지하기 위한 엄밀한 수학적 기반을 제공할 수 있는가?
• RQ5 저역통과 필터링 및 제어 이론 기법은 노이즈가 많은 금융 시계열에서 추세를 얼마나 효과적으로 분리하고 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비표준 해석학을 활용하여 금융 시계열에서 추세의 존재에 대한 수학적 증명을 수립한다.
• 추세가 랜덤 워크 행동과 효율적 시장 가정과 공존할 수 있음을 보여주지만, 이는 블랙-숄즈 모델의 가정을 도전한다.
• 저역통과 필터링 및 신호 처리 기법의 적용으로 금융 데이터에서 탐지 가능한 장기 성분을 성공적으로 분리한다.
• 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 다양한 금융 수량에 걸쳐 추세 추정의 탐지 가능성과 일관성이 입증된다.
• 카티에 및 페린의 정리를 비표준 해석학에서 활용함으로써 이산적이고 유한한 시계열에서 추세를 정의하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.
• 결과는 전통적 모델이 간과하는 금융 시계열이 결정론적이고 비랜덤 성분을 내재하고 있을 수 있음을 시사한다.