[논문 리뷰] A Mathematical Theory of Co-Design

Andrea Censi|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 25.

Manufacturing Process and Optimization참고 문헌 22인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 기능과 자원을 스코트 연속 성립 관계를 갖는 완비 부분순서로 모델링하는 단조 Co-Design 문제(MCDP)를 사용하여 복잡한 시스템을 위한 수학적 이론을 제안한다. 이를 통해 비정규, 비가환 설정에서도 엄밀하고 최적의 상호의존 하위시스템 설계를 위한 체계적인 해법을 제공한다. 이는 최소 고정점 반복을 통해 애너티체인(antichains) 위에서 수행된다.

ABSTRACT

One of the challenges of modern engineering, and robotics in particular, is designing complex systems, composed of many subsystems, rigorously and with optimality guarantees. This paper introduces a theory of co-design that describes "design problems", defined as tuples of "functionality space", "implementation space", and "resources space", together with a feasibility relation that relates the three spaces. Design problems can be interconnected together to create "co-design problems", which describe possibly recursive co-design constraints among subsystems. A co-design problem induces a family of optimization problems of the type "find the minimal resources needed to implement a given functionality"; the solution is an antichain (Pareto front) of resources. A special class of co-design problems are Monotone Co-Design Problems (MCDPs), for which functionality and resources are complete partial orders and the feasibility relation is monotone and Scott continuous. The induced optimization problems are multi-objective, nonconvex, nondifferentiable, noncontinuous, and not even defined on continuous spaces; yet, there exists a complete solution. The antichain of minimal resources can be characterized as a least fixed point, and it can be computed using Kleene's algorithm. The computation needed to solve a co-design problem can be bounded by a function of a graph property that quantifies the interdependence of the subproblems. These results make us much more optimistic about the problem of designing complex systems in a rigorous way.

연구 동기 및 목표

• 로봇 공학 분야에서 특히 중요한 상호의존 하위시스템 간의 재귀적 Co-Design 제약 조건을 갖는 복잡한 시스템 설계의 과제를 해결한다.
• 성능, 구현, 자원 공간의 튜플로 Co-Design 문제를 형식화하고, 성립 가능 관계를 포함한다.
• 최적성 보장을 갖는 원칙적인 프레임워크를 개발하여 임의로 연결된 Co-Design 문제를 해결한다.
• 최소 자원 솔루션이 존재하고 체계적으로 계산될 수 있는 조건을 설정한다.
• 단일 순환 Co-Design의 이전 작업을 일반화하여 피드백 루프를 포함한 임의의 그래프 구조적 상호연결에 대해 적용 가능하게 한다.

제안 방법

• 각 설계 문제를 기능 공간, 구현 공간, 자원 공간 간의 성립 가능 관계로 모델링한다.
• 기능과 자원이 완비 부분순서이고 성립 가능 관계가 단조적이며 스코트 연속인 Monotone Co-Design Problems(MCDPs)를 정의한다.
• MCDP의 해를 최소 자원의 애너티체인(Pareto 프론트) 위에서 정의된 방정식 시스템의 최소 고정점으로 표현한다.
• 클리니의 고정점 반복을 적용하여 애너티체인 격자에서 최하위 원소부터 시작해 해를 계산한다.
• 하위문제 간 상호의존성을 측정하는 그래프 성질을 사용해 계산 복잡도를 제한한다.
• 혼란스러운 반복 및 이국적 반복과 같은 추상 해석 기법을 활용해 수렴 속도를 향상시킬 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 시스템에서 상호의존 하위시스템 간 Co-Design 제약 조건을 최적성 보장과 함께 체계적으로 모델링하고 해결할 수 있는가?
• RQ2 다목적, 비가환 Co-Design 문제에서 최소 자원 솔루션의 존재성과 계산 가능성 보장에 기여하는 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 피드백 루프 포함, 임의의 상호연결 구조를 갖는 MCDP에 대해 체계적인 해법 절차를 정의할 수 있는가?
• RQ4 Co-Design 다이어그램에서 상호의존성의 구조가 문제 해결의 계산 복잡도에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ5 기존 추상 해석 기법이 다가치, 유일하지 않은 해를 갖는 MCDP를 해결하는 데 얼마나 적합하게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 단조 Co-Design 문제(MCDPs)는 피드백 포함 임의의 상호연결에 대해 닫혀 있으며, 이는 복잡한 시스템 설계에 대한 프레임워크의 강건성을 보장한다.
• MCDP의 해는 최소 자원 할당의 애너티체인(Pareto 프론트)으로서, 애너티체인 위의 스코트 연속 연산자의 최소 고정점으로 특징지어진다.
• 고정점 반복은 유한한 단계 내에 수렴하며, 복잡도는 하위시스템 간 상호의존성을 측정하는 그래프 성질에 의해 제한된다.
• MCDPs는 유일한 해를 갖는 연속 단조 부분순서 프로그램(CMPOPs)을 일반화하며, 다가치 성립 가능 관계로 인해 다수의 최소 해를 허용한다.
• 이 프레임워크는 피드백 루프를 포함한 이질적이고 다영역의 시스템, 예를 들어 로봇 플랫폼의 재귀적 Co-Design 제약 조건을 갖는 시스템의 체계적이고 최적의 설계를 가능하게 한다.
• 최적화 문제의 특성이 비가환, 비미분 가능하고 연속 공간 위에서 정의되지 않더라도, 완전하고 구성 가능한 해법 절차를 제공한다.