[논문 리뷰] A Mathematical Theory of Truth with Applications

Seppo Heikkilä|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 17.

Logic, Reasoning, and Knowledge인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 자연수와 아라비아 숫자를 포함하는 형식적 닫힘 언어—수학적으로 합리적(MA) 언어로 부르는 언어—를 위한 수학적 진리 이론(MTT)을 제안한다. Zermelo-Fraenkel 집합론과 고전 논리학 내에서 단항 진리 술어를 확장함으로써 MTT는 무한한 귀납을 피하고, Leitgeb의 진리 이론을 위한 여덟 가지 기준을 만족하는 자기참조적 진리 술어를 구축한다.

ABSTRACT

In this paper a class of languages which are formal enough for mathematical reasoning is introduced. First-order formal languages containing natural numbers and numerals belong to that class. Its languages are called mathematically agreeable (shortly MA). Languages containing a given MA language L, and being sublanguages of L augmended by a monadic predicate are constructed. A mathematical theory of truth (shortly MTT) is formulated for some of these languages. MTT makes them MA languages which posses their own truth predicates. MTT is shown to conform well with the eight norms presented for theories of truth in 'What Theories of Truth Should be Like (but Cannot be)', by Hannes Leitgeb. MTT is free from infinite regress, providing a proper framework to study the regress problem. Main tools used in proofs are Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory and classical logic.

연구 동기 및 목표

• 수학적 추론에 적합하고 자연수 및 아라비아 숫자를 포함하는 형식 언어의 집합을 정의하는 것.
• 형식적 일관성을 위반하지 않도록 MA 언어에 단항 진리 술어를 추가하여 언어 확장을 구축하는 것.
• 확장된 언어가 스스로의 진리 술어를 갖도록 할 수 있는 수학적 진리 이론(MTT)을 제작하는 것.
• MTT가 Hannes Leitgeb의 수용 가능한 진리 이론을 위한 여덟 가지 기준을 모두 충족시킴으로써 철학적 일관성을 확보하는 것.
• 자기참조적 진리 이론이 무한한 귀납 문제를 해결하기 위해 형식 체계 내에 일관된 자기참조적 진리 술어를 통합하는 것.

제안 방법

• 논문은 자연수와 아라비아 숫자를 포함하는 일阶 논리 형식 언어로서 수학적으로 합리적(MA) 언어를 정의한다.
• 기본 MA 언어 L에 단항 진리 술어를 추가하여 언어 확장을 구성함으로써, 진리 술어가 첨가된 L의 부분언어를 형성한다.
• MTT는 Zermelo-Fraenkel(ZF) 집합론과 고전 논리학 내에서 개발되어 수학적 엄밀성과 일관성을 보장한다.
• 핵심 구성 요소는 ZF 내에서의 정의 가능성과 만족 조건을 활용하여 언어 자체 문장에 대해 진리 술어를 해석하는 데 있다.
• 진리 술어가 잘 정의되어 있고 논리적 함의에 대해 닫혀 있음을 보여주어 모순을 피한다.
• 진리 술어가 일관된 형식 체계 내에 통합되어 있어 무한한 귀납을 유도하지 않도록 프레임워크를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연수와 아라비아 숫자를 포함하는 형식 언어가 일관성 없이도 스스로의 진리 술어를 갖는가?
• RQ2 자기참조에서 발생하는 무한한 귀납 문제를 피하는 진리 이론이 가능한가?
• RQ3 Hannes Leitgeb이 제시한 수용 가능한 진리 이론을 위한 여덟 가지 기준을 모두 충족시키는 진리 이론이 가능한가?
• RQ4 ZF 기반 형식 체계 내에서 일관성을 위반하지 않고 자기참조적 진리 술어를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ5 어떻게 하면 수학적으로 정밀하면서도 철학적으로 일관된 방식으로 진리 술어를 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 수학적 진리 이론(MTT)은 자연수와 아라비아 숫자를 포함하는 형식 언어 내에서 자기참조적 진리 술어를 성공적으로 구축한다.
• MTT는 무한한 귀납을 피하여 형식 체계 내에서 자기참조적 진리 연구에 안정적인 프레임워크를 제공한다.
• MTT는 Hannes Leitgeb이 제시한 진리 이론을 위한 여덟 가지 기준을 모두 충족시켜 철학적 일관성을 확보한다.
• 진리 술어는 Zermelo-Fraenkel 집합론 내에서 정의 가능하여 수학적 일관성과 엄밀성을 보장한다.
• 프레임워크는 언어 자체 내에서 진리의 형식화를 가능하게 하여 내재된 진리 평가를 허용한다.
• 자기참조적 진리는 ZF와 같은 강력한 기초 이론에 기반할 경우 형식 체계 내에서 가능하다는 것이 이 구성 과정을 통해 입증된다.