[논문 리뷰] A max-plus finite element method for solving finite horizon deterministic optimal control problems

Marianne Akian, Stéphane Gaubert외 1명|ArXiv.org|2004. 04. 08.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 최대-합 변분 형식과 반모듈러에 대한 투영을 활용하여 유한 시간 영역의 결정론적 최적 제어 문제를 해결하기 위한 최대-합 유한요소 방법을 제안한다. 이 방법은 1차원에서 $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$의 오차 추정치를 달성하며, 최대-합 대수 프레임워크로 유한요소 방법을 일반화한 새로운 페트로프-갈레르킨 유사 접근법을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a max-plus analogue of the Petrov-Galerkin finite element method, to solve finite horizon deterministic optimal control problems. The method relies on a max-plus variational formulation, and exploits the properties of projectors on max-plus semimodules. We obtain a nonlinear discretized semigroup, corresponding to a zero-sum two players game. We give an error estimate of order $(Δt)^{1/2}+Δx(Δt)^{-1}$, for a subclass of problems in dimension 1. We compare our method with a max-plus based discretization method previously introduced by Fleming and McEneaney.

연구 동기 및 목표

• 최대-합 대수를 활용하여 유한 시간 영역의 결정론적 최적 제어 문제를 해결하기 위한 수치적 방법을 개발한다.
• 변분 형식과 반모듈러 투영을 통해 최대-합 설정으로 유한요소 방법의 프레임워크를 확장한다.
• 일부 1차원 문제에 대해 정량화된 오차 추정치를 포함한 수렴 분석을 제공한다.
• 플링엄과 매시니의 방법과 같은 기존의 최대-합 이산화 기법들과의 비교를 수행한다.
• 선형-제곱 및 거리 유사 제어 문제를 포함한 수치 예제를 통해 제안된 방법의 효율성을 입증한다.

제안 방법

• 해밀턴-자비 방정식을 바탕으로 한 최대-합 변분 형식을 사용하여 최적 제어 문제를 수식화한다.
• 잔여 이론과 최대-합 반모듈러 위의 투영자를 활용하여 이산 해 연산자를 정의한다.
• 시험 함수와 시험 함수가 서로 다른 함수 공간에서 선택되는 페트로프-갈레르킨 프레임워크를 적용한다.
• 해의 공간에는 2차 유한요소를, 시험 공간에는 리프시츠 유한요소를 사용하여 유한차원 근사를 구성한다.
• 값 함수의 최대-합 선형 진화를 모방하는 비선형 반군 이산화를 구현한다.
• 수치적 구현과 검증을 위해 Scilab의 최대-합 도구상자를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대-합 대수의 변분 원리에 기반하여 결정론적 최적 제어 문제에 대해 최대-합 유한요소 방법을 제안할 수 있는가?
• RQ2 이산 해의 오차는 시간 및 공간 이산화 단계인 $\Delta t$와 $\Delta x$에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 시험 함수와 시험 함수에 대해 서로 다른 함수 공간을 선택할 경우 근사의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기존의 최대-합 기반 이산화 기법들과 비교하여 제안된 방법의 성능과 수렴 특성은 어떠한가?
• RQ5 투영 기반 이산화가 참값 함수에 수렴하는 근사값을 제공하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 정규성 가정 하에 일부 1차원 최적 제어 문제에 대해 $\sqrt{\Delta t} + \Delta x / \Delta t$의 오차 추정치를 달성한다.
• 이 오차 추정치는 해밀턴-자비 방정식에 대한 전통적인 유한차분 및 유한요소 방법의 수렴 속도와 일치한다.
• 수치 실험 결과는 적절한 시험 함수를 선택할 경우 값 함수를 정확하게 근사할 수 있음을 확인한다.
• 시험 함수를 잘못 선택할 경우 — 예를 들어 해가 충분한 반볼류어티를 갖추지 못한 상태에서 2차 요소를 사용할 경우 — 투영 오차가 수렴하지 않을 수 있다.
• 리프시츠 유한요소를 시험 함수로 사용할 경우 비연속적이거나 반볼류어티가 없는 해를 가진 문제에서 정확도가 크게 향상된다.
• 선형-제곱 및 거리 유사 제어 문제에서 값 함수의 구조를 수치 예제를 통해 검증함으로써 성공적으로 포착하였다. $T=1$ 및 $T=5$ 조건에서 검증되었다.