[논문 리뷰] A maximum principle for infinite horizon delay equations

Nacira Agram, Sven Haadam외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 28.

Economic theories and models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 레비 점프를 수반하는 무한 수평에서의 확률적 지연 방정식 최적 제어를 위한 최초의 및 제2의 충분조건 스토하스틱 최대원리와 필수 조건을 수립한다. 또한 점프를 동반한 고급 후행 확률 미분 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하여, 경계 조건이 없는 무한 수평 제어 문제를 해결하기 위한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We prove a maximum principle of optimal control of stochastic delay equations on infinite horizon. We establish first and second sufficient stochastic maximum principles as well as necessary conditions for that problem. We illustrate our results by an application to the optimal consumption rate from an economic quantity.

연구 동기 및 목표

• 무한 수평에서의 확률적 지연 방정식에 대한 최적 제어 이론의 부족을 해결하기 위해, 특히 시스템이 비마르코프적이며 동적 프rogramming가 적용 불가능한 경우를 대비한다.
• 분포 지연(적분 항을 통해)과 레비 과정에 의해 구동되는 점프 디퓨전을 수용할 수 있는 스토하스틱 최대원리 프레임워크를 개발한다.
• 무한 수평 문제에서 경계 조건의 도전 과제를 극복하기 위해, 영값 근접 조건을 요구하지 않는 충분 조건을 증명함으로써 해결한다.
• 무한 시간 수평에서 점프를 수반하는 고급 후행 확률 미분 방정식의 해에 대한 존재성 및 유일성 결과를 수립한다.
• 경제 분야의 응용을 위한 이론적 기반을 제공한다. 예를 들어, 지연된 정보와 기억 효과를 고려한 최적 소비 결정 문제.

제안 방법

• 상태, 지연, 분포 기억 성분을 포함한 확률적 지연 방정식(SDDE)을 사용하여 스토하스틱 제어 문제를 수립한다.
• 상태, 지연, 기억 변수에 대한 쌍대 과정을 포함하는 해밀토니안 함수를 도입하여 변분 분석을 가능하게 한다.
• 해밀토니안의 변분 부등식과 볼록 조건을 통해 제1 및 제2의 충분 최대원리를 유도한다.
• 이토의 공식을 쌍대 과정에 적용하고, 성장 제어 및 적분 가능성 확보를 위해 파rameter λ를 사용한 지수 가중치를 사용한다.
• 수축 원리를 사용하여 무한 시간 수평에서 점프를 수반하는 고급 후행 확률 미분 방정식(비선형)의 해에 대한 존재성 및 유일성을 확립한다.
• 계수에 라플라스 유형 조건을 도입하고, 그론발 유형 부등식을 사용하여 해 간의 차이를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 시간 수평에서의 확률적 지연 방정식 최적 제어를 위한 최대원리는 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 무한 수평에서 점프를 수반하는 고급 후행 확률 미분 방정식의 해에 대한 존재성 및 유일성 조건은 무엇인가?
• RQ3 최종 값이 0으로 수렴한다는 가정 없이도 충분 및 필요 최적성 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ4 분포 기억(적분 지연)과 레비 과정에 의한 점프는 최대원리 프레임워크에 어떻게 통합될 수 있는가?
• RQ5 무한 수평 설정에서 쌍대 과정의 적분 가능성과 수렴성을 보장하기 위해 지수 가중치는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 경계 조건 없이도 적용 가능한 첫 번째 및 두 번째 충분 조건 스토하스틱 최대원리가 무한 수평에서 점프를 수반하는 확률적 지연 제어 문제에 대해 수립되었다.
• 최적성 조건과 관련된 해밀토니안 변위가 허용 가능한 제어에 대해 음이 아니라는 조건을 연결하는 필수 최대원리가 도출되었다.
• 라플라스 유형 조건 하에서 무한 수평에서 점프를 수반하는 고급 후행 확률 미분 방정식의 해에 대한 존재성 및 유일성이 증명되었다.
• 유일성 증명은 파rameter λ를 사용한 지수 가중치 기법에 기반하며, λ는 계수의 리프시츠 상수를 초월할 만큼 충분히 큰 값으로 선택된다.
• 쌍대 과정 (p, q, r)은 동일한 가중치 하에서 서로 구별 불가능하며, 지수 감쇠를 고려한 L2-의미에서의 유일성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 확률적 지연 과정에서의 최적 소비율을 모델링한 경제 모델에 적용되어 거시경제학 및 금융 모델링에서 실용적 관련성을 입증한다.