[논문 리뷰] A Maximum Principle for Optimal Control of Stochastic Evolution Equations

Kai Du, Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 16.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 르베그 미분과 근사화를 통한 새로운 이阶 미분 분석을 사용하여, 비볼록 제어 집합과 제어에 의존하는 분산을 갖는 무한차원 확률적 진화 방정식의 최적 제어를 위한 일반적인 최대 원리를 수립한다. 이는 연산자 값을 갖는 이阶 수반 과정을 도출한다. 주요 기여는 펀의 유한차원 최대 원리를 추상적 무한차원 설정으로 확장한 필요 최적성 조건을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

A general maximum principle is proved for optimal controls of abstract semilinear stochastic evolution equations. The control variable, as well as linear unbounded operators, acts in both drift and diffusion terms, and the control set need not be convex.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 제어 집합과 제어에 의존하는 분산을 갖는 무한차원 확률적 제어 시스템에 대해 일반적인 최대 원리를 도출하는 데 오랫동안 존재했던 격차를 메우기 위해.
• 펀의 유한차원 최대 원리를 힐베르트 공간 내 추상적 비선형 확률적 진화 방정식으로 확장하기 위해.
• 연산자 값을 갖는 후행 확률 미분 방정식을 직접 해결하는 데 어려움이 있는 무한차원 설정에서 이阶 미분 분석을 위한 새로운 방법을 개발하기 위해.
• 제어 계수에 의해 제어되는 광범위한 클래스의 확률적 편미분 방정식에 적용 가능한 필요 최적성 조건을 수립하기 위해.
• 구체적인 문제들, 예를 들어 제어된 SPDE와 비선형 비용 함수를 갖는 확률적 열 방정식에 적용 가능한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 백트로프 프로세스에 의해 구동되는 비선형 확률적 진화 방정식의 최적 제어 문제를 설정하며, 비유계 선형 연산자와 제어에 의존하는 비율 및 분산을 포함한다.
• 편미분 분석에서 발생하는 이차항에 초점을 맞추어, 이阶 변동 방법을 적용하여 변동 부등식을 도출한다.
• 르베그 미분 정리와 근사화 방법을 사용하여 이차항이 확률적 이항선형 함수로 수렴함을 보인다.
• 이차 수반 과정을 연산자 값을 갖는 과정으로 도입하여 이항선형 함수를 표현함으로써 최대 조건 유도를 가능하게 한다.
• 상태 과정에 대한 $L^p$-추정을 수립하고, 확률적 이항선형 함수의 정규성과 표현을 분석한다.
• 수반 과정과 제어의 변동을 포함하는 필요 최적성 조건을 도출하기 위해 일阶 변동 조건이 최대 조건으로 이어짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 제어 집합과 제어에 의존하는 분산을 갖는 무한차원 확률적 제어 시스템에 대해 일반적인 최대 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 연관된 후행 확률 미분 방정식이 연산자 값을 갖는 무한차원 설정에서, 연산자 값을 갖는 후행 확률 미분 방정식을 직접 해결할 수 없는 상황에서 이阶 미분 분석은 어떻게 수행할 수 있는가?
• RQ3 비용 함수가 상태와 제어에 대해 비선형인 경우, 이차 수반 과정이 최적성 특성을 기술하는 데 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법은 제어 계수와 비볼록 제어 영역을 갖는 구체적인 확률적 PDE에 어느 정도 적용 가능한가?
• RQ5 기존 문헌에서 다루지 않은 제어에 대한 이차항을 포함하는 비용 함수는 이 방법이 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비볼록 제어 집합과 제어에 의존하는 분산을 갖는 추상적 비선형 확률적 진화 방정식의 최적 제어를 위한 일반적인 최대 원리를 증명한다.
• 이阶 미분 분석은 근사화 방법과 르베그 미분 정리를 사용하여 수행되며, 연산자 값을 갖는 후행 확률 미분 방정식의 직접적 해법을 피한다.
• 이차 변동 항은 연산자 값을 갖는 이차 수반 과정에 의해 표현되는 확률적 이항선형 함수로 수렴한다.
• 필요 최적성 조건은 일阶 및 이阶 수반 과정과 제어 변동을 포함하는 최대 조건의 형태로 도출된다.
• 추상적 결과는 두 가지 예제에 적용된다: 제어된 슈퍼파라볼릭 SPDE와 비선형 비용을 갖는 확률적 열 방정식으로, 둘 다 비볼록 제어와 이차 비용 항을 포함한다.
• 이 방법은 이전 연구들인 [10]과 [5]가 다루지 못한 문제들, 특히 이차 비용 함수의 처리 덕분에 적용 가능함이 입증된다.