[논문 리뷰] A McKay Correspondence in Positive Characteristic

Christian Liedtke|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 p ≥ 7인 양의 특성에서 SL₂의 유한 및 선형적으로 재구성 가능한 부분군 스킴에 대한 McKay 대응을 수립하며, 기존의 약한 경우를 초월하여 야생 경우까지 확장한다. 이는 호프 대수 표현을 통한 유한 군 스킴에 대한 공轭류의 정의를 제시하고, 공轭류, 기약 표현, 아핀 딜린 지그램의 꼭짓점 사이의 전단사 사상이 존재함을 증명함으로써, 이 특성 범위 내에서 모든 유리 이중점 특이점에 대한 McKay 대응을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We establish a McKay correspondence for finite and linearly reductive subgroup schemes of $\mathrm{SL}_2$ in positive characteristic. As an application, we obtain a McKay correspondence for all rational double point singularities in characteristic $p\geq7$. We discuss linearly reductive quotient singularities and canonical lifts over the ring of Witt vectors. In dimension 2, we establish simultaneous resolutions of singularities of these canonical lifts via $G$-Hilbert schemes. In the appendix, we discuss several approaches towards the notion of conjugacy classes for finite group schemes: This is an ingredient in McKay correspondences, but also of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 고전적 McKay 대응을 양의 특성, 특히 군의 순서가 p로 나누어지는 야생 경우로 확장하기 위해.
• 대수적으로 닫힌 체 위의 양의 특성에서의 유한 군 스킴에 대해 의미 있는 공轭류의 개념을 정의하기 위해.
• 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴을 사용하여 특성 p ≥ 7에서의 유리 이중점 특이점에 대한 McKay 대응을 수립하기 위해.
• 이러한 특이점에 대한 유도 범주와 윌트 환 위의 정규 승화의 구조를 탐색하기 위해.
• 특히 호프 대수 표현을 통한 공轭류 정의에 대한 여러 접근 방식을 비교 및 평가하기 위해.

제안 방법

• 유한 군 스킴 G의 유한 차원 k-선형 표현의 범주를 사용하여, 준가역성에 의해 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴을 정의한다.
• 호프 대수 H⁰(G, O_G)* 위의 확장된 수반 표현을 적용하여, 단순 부분표현을 통한 공轭류를 정의한다.
• 기약 표현의 동형류와 공轭류를 사용하여 매크레이 그래프 Γ 및 그 아핀 확장  Γ̂ 를 구성한다.
• G-Hilbert 스킴을 사용하여 윌트 환 위의 몫 특이점의 정규 승화에 대한 동시에 가능한 해소를 달성한다.
• 특히 μ_p^n 및 α_p와 같은 군 스킴에 관련된 호프 대수의 구조를 분석하며, 수반 및 확장된 수반 표현을 중심으로 분석한다.
• 여섯 가지의 공轭류 정의 접근 방식을 비교하며, 선형적으로 재구성 가능한 경우에 확장된 수반 표현을 선호한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 p ≥ 7에서 군의 순서가 p로 나누어지는 경우라도, 유리 이중점 특이점에 대한 McKay 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ2 특히 군이 에탈리가 아닐 경우, 양의 특성에서의 유한 군 스킴에 대한 공轭류의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 호프 대수 H⁰(G, O_G)*의 표현은 선형적으로 재구성 가능한 설정에서 공轭류와 기약 표현과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 윌트 환 위의 몫 특이점의 정규 승화가 G-Hilbert 스킴을 통해 동시에 해소될 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 여러 제안된 유한 군 스킴의 공轭류 정의 중 어느 것이 일관되고 유용한 McKay 대응을 제공하는가?

주요 결과

• 특성 p ≥ 7에서 SL₂의 유한 및 선형적으로 재구성 가능한 부분군 스킴을 사용하여, 모든 유리 이중점 특이점에 대한 McKay 대응이 수립된다.
• 체 k 위의 유한 및 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴 G의 공轭류 수는 G의 단순 표현의 동형류 수와 같다.
• 호프 대수 H⁰(G, O_G)* 위의 확장된 수반 표현은 공轭류에 대응하는 동형성 성분으로 분해되며, 이는 표현론적 정의로서의 공轭류 정의를 제공한다.
• 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴에서는 G_abs = G(k)의 정규 표현의 쌍대가 공轭류에 의해 인덱스가 매겨진 성분으로 분해되며, 이는 공轭류와 기약 표현 사이의 이중성 구조를 시사한다.
• 윌트 환 위의 선형적으로 재구성 가능한 몫 특이점의 정규 승화는 차원 2에서 G-Hilbert 스킴을 통해 동시에 해소 가능하다.
• 확장된 수반 표현 접근 방식은 야생 경우에서도 일관된 공轭류 정의를 제공하지만, A 또는 A* 위의 수반 표현은 준가역성이 보장되지 않을 수 있어 이는 불리하다.