[논문 리뷰] A Mean-field Approach for Controlling Singularly Perturbed Multi-population SIS Epidemics

P T Akhil, Eitan Altman외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 15.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 한 개의 이동 가능한 공동체와 다수의 고립된 공동체를 가진 다중 인구 SIS 전염병을 제어하기 위해 평균장 특성의 섭동 이론 접근법을 제안한다. 교차 공동체 상호작용을 제어 가능한 비율로 모델링함으로써, 특성 섭동 이론을 통해 차수를 낮춘 상미분 방정식 시스템을 유도하며, 이를 통해 폰트리아긴의 최소 원리에 의한 최적 제어를 가능하게 한다. 주요 결과는 이동 노드가 전파를 촉진함으로써 고립된 공동체에서는 사라질 것으로 예상되는 감염이 여전히 모든 공동체에서 지속될 수 있으며, 대규모 인구에서의 최적 제어 정책은 엄밀히 근사 최적임을 입증한다.

ABSTRACT

We consider a multi-population epidemic model with one or more (almost) isolated communities and one mobile community. Each of the isolated communities has contact within itself and, in addition, contact with the outside world but only through the mobile community. The contact rate between the mobile community and the other communities is assumed to be controlled. We first derive a multidimensional ordinary differential equation (ODE) as a mean-field fluid approximation to the process of the number of infected nodes, after appropriate scaling. We show that the approximation becomes tight as the sizes of the communities grow. We then use a singular perturbation approach to reduce the dimension of the ODE and identify an optimal control policy on this system over a fixed time horizon via Pontryagin's minimum principle. We then show that this policy is close to optimal, within a certain class, on the original problem for large enough communities. From a phenomenological perspective, we show that the epidemic may sustain in time in all communities (and thus the system has a nontrivial metastable regime) even though in the absence of the mobile nodes the epidemic would die out quickly within each of the isolated communities.

연구 동기 및 목표

• 이동 가능한 공동체를 통한 교차 공동체 상호작용이, 그 외에는 빠르게 소멸할 것으로 예상되는 고립 공동체에서 전염병을 지속시킬 수 있는지 분석하는 것.
• 유한 시간 동안 정보 확산(또는 전염)을 최대화하면서 이동 공동체 상호작용의 제어 비용을 최소화하는 가용성 있는 제어 전략을 개발하는 것.
• 의미 있는 평균장 및 특성 섭동 근사에 기반해 원래의 스토케스틱 전염병 과정과 축소된 결정론적 유체 근사 간의 엄밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• 원래 시스템에 대해 유도된 최적 제어 정책이 대규모 인구 조건에서 원래 시스템에 대해 근사 최적임을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 공동체의 크기를 무한대로 확장한 후, 감염자 수의 역학을 평균장 유체 근사로 나타내는 다차원 상미분 방정식(OED)을 유도한다.
• 특성 섭동 이론을 적용하여 고립 공동체 내의 빠른 동역학과 이동 공동체의 느린 동역학을 분리함으로써, 시스템을 일차원 ODE로 축소한다.
• 고정된 시간 구간에 대해 폰트리아긴의 최소 원리를 적용하여 축소된 ODE 시스템에서 최적 제어 정책을 유도한다.
• 모든 공동체의 크기가 증가함에 따라 원래 과정에서 감염된 노드의 경험적 분포가 축소된 시스템의 궤적으로 수렴함을 증명함으로써 유체 근사의 강도를 확립한다.
• 두보의 부등식과 마코프 부등식을 사용하여 근사 오차를 유계화하고, 특정 스케일링 조건 하에서 수렴 확률이 $ O(1/\text{log } n) $ 의 속도로 수렴함을 보인다.
• 원래 시스템의 가치 함수가 $ n \to \infty $ 일 때 축소된 시스템의 가치 함수로 수렴함을 증명함으로써 제어 정책의 근사 최적성에 대한 유효성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 공동체를 통해 상호작용하는 교차 공동체 상호작용이, 그 외에는 빠르게 소멸할 것으로 예상되는 고립 공동체에서 감염을 지속시킬 수 있는가?
• RQ2 유한 시간 동안 감염 확산을 최대화하면서 제어 비용을 최소화하는 최적의 제어 정책은 무엇인가?
• RQ3 대규모 인구에서 전체 스토케스틱 전염병 과정의 거동를 잘 근사하는가에 대해 일차원 축소 모델의 정확도는 어떠한가?
• RQ4 유체 근사와 특성 섭동 축소가 수렴성과 근사 최적성 측면에서 엄밀히 정당화될 수 있는가?
• RQ5 공동체 크기가 증가함에 따라 유체 근사와 제어 정책이 원래 시스템으로 수렴하는 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 이동 공동체를 통한 교차 공동체 전파 덕분에, 각 고립 공동체는 자체적으로는 감염이 금세 소멸할 것으로 예상되더라도, 모든 고립 공동체에서 감염이 지속될 수 있다.
• 적절한 스케일링 조건 하에서, 축소된 일차원 ODE 시스템은 전체 시스템의 장기적 거동을 정확히 반영하며, 유체 근사 오차는 $ O(1/\log n) $ 이내로 유계화된다.
• 축소된 시스템에서 유도된 최적 제어 정책은 원래 시스템에 대해 엄밀히 근사 최적이며, 가치 함수의 차이는 $ n \to \infty $ 일 때 사라진다.
• 근사 오차의 수렴 속도는 $ O(1/\log n) $ 이며, 유체 근사에서의 큰 이탈 확률은 $ O(1/\log n) $ 의 속도로 감소한다.
• 분석에서 리프시츠 상수는 $ O(1/\varepsilon) $ 의 속도로 증가하며, $ \varepsilon $ 는 시간 스케일 분리 정도를 제어하는 변수이다. $ \varepsilon \to 0 $ 이면서 $ \varepsilon \geq C/\log n $ 인 적절한 스케일링 조건 하에서 오차 유계는 사라짐을 보였다.
• 원래 문제의 가치 함수는 축소된 문제의 가치 함수로 수렴하며, 그 차이는 상수배의 $ O(1/\log n) $ 으로 유계화되어 있어 제어 정책의 근사 최적성 확인됨.