[논문 리뷰] A mean value formula and a Liouville theorem for the complex Monge-Ampère equation

Chao Li, Jiayu Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비음성 Ricci 곡률을 가진 완비 리만다이만다에서 유계인 하모닉 하지 않은 헤르미트 행렬 함수에 대해 평균값 공식을 수립하며, 그 평균값이 큰 구에서 수렴하여 상수 헤르미트 행렬이 됨을 증명한다. 응용으로, 곱 다이만다에서 복소 몽에-암페르 방정식에 대해 리우빌 유형 정리를 증명하여, 특정 곡률 및 체적 성장 조건 하에서 켈러 메트릭이 $\mathbb{C}^m$ 위의 평탄한 메트릭과 컴act 다이만다 위의 Ricci-평탄한 메트릭의 합으로 분해되어야 함을 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we prove a mean value formula for bounded subharmonic Hermitian matrix valued function on a complete Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature. As its application, we obtain a Liouville type theorem for the complex Monge-Ampère equation on product manifolds.

연구 동기 및 목표

• 비음성 Ricci 곡률을 가진 완비 리만다이만다에서 유계 하모닉 하지 않은 헤르미트 행렬 함수에 대해 고전적 평균값 성질을 일반화한다.
• $\mathbb{C}^m \times Y$에서 곱 다이만다에서 복소 몽에-암페르 방정식에 대해 리우빌 유형 정리를 수립한다. 여기서 $Y$는 비음성 Ricci 곡률을 가진 컴팩트 켈러 다이만다이다.
• 이전의 복소 몽에-암페르 방정식 결과를 일반화하기 위해 Calabi $\mathcal{C}^3$ 추정이 필요 없이, 대신 행렬 함수의 평균값 수렴을 사용한다.
• 체적 성장 및 곡률 유계 조건 하에서 $\mathbb{C}^m \times Y$ 위의 켈러 메트릭이 $\mathbb{C}^m$ 위의 평탄한 메트릭과 $Y$ 위의 Ricci-평탄한 메트릭의 합으로 분해되어야 함을 보인다.

제안 방법

• 모든 $\xi \in \mathbb{C}^m$에 대해 $\xi A \xi^*$의 하모닉 하지 않음으로써 헤르미트 행렬 함수에 대한 하모닉 하지 않음의 정의를 내린다.
• 평균값 공식을 증명한다: 유계 하모닉 하지 않은 헤르미트 행렬 함수 $A$의 큰 지오데식 구 $B_r(p)$ 위에서의 평균은 반경 $r \to \infty$일 때 상수 헤르미트 행렬 $A_0$로 수렴한다. 즉, $\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$.
• 평균의 수렴성과 최대원리(최대값 원리)를 이용하여 $M$ 위에서 $A \leq A_0$임을 보인다.
• 메트릭 성분 $u^{i\bar{j}}$의 역행렬에 평균값 공식을 적용하여, $\mathbb{C}^m \times Y$ 위의 켈러 메트릭 $\omega$에서 이들의 평균이 상수 행렬 $A$로 수렴함을 보인다.
• 체적 비교 및 메트릭 비교 추정을 사용하여 $\omega$-구 평균과 $\mathbb{C}^m \times Y$ 위의 $g_0$-구 평균을 연결하여 $\fint_{B_r(z_0)\times Y} \det(u^{i\bar{j}}) \, dV_{g_0} = \det A$를 확립한다.
• 이를 통해 $\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$임을 유도하고, 이로부터 $u^{i\bar{j}} \equiv A$임을 유추한다. 이는 메트릭이 $\mathbb{C}^m$ 방향으로 일정함을 의미하며, 따라서 $\nabla_{g_0} g = 0$임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 Ricci 곡률을 가진 완비 리만다이만다에서 유계 하모닉 하지 않은 헤르미트 행렬 함수에 대해 평균값 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 행렬 함수의 평균 수렴은 기저 다이만다의 기하학적 구조에 강성(rigidity)을 유도하는가?
• RQ3 $\mathbb{C}^m \times Y$에서 복소 몽에-암페르 방정식이 켈러 메트릭이 $\mathbb{C}^m$ 위의 평탄한 메트릭과 $Y$ 위의 Ricci-평탄한 메트릭의 합으로 분해되도록 하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Calabi $\mathcal{C}^3$ 추정에 의존하지 않고도 복소 몽에-암페르 방정식에 대한 리우빌 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 평균값 공식은 곱 공간 위의 켈러 메트릭에 대한 강성 증명에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 큰 지오데식 구에서 유계 하모닉 하지 않은 헤르미트 행렬 함수 $A$의 평균은 상수 헤르미트 행렬 $A_0$로 수렴한다. 즉, $\lim_{r\to\infty} \fint_{B_r(p)} A \, dV_g = A_0$.
• 행렬 $A$는 $M$ 위에서 $A \leq A_0$를 만족하며, 평균의 극한에서 등호가 성립한다.
• 주어진 곡률 및 체적 성장 유계 조건 하에서 $\mathbb{C}^m \times Y$에서 복소 몽에-암페르 방정식에 대해 $\det(u^{i\bar{j}}) \equiv \det A = c$이며, 이는 양의 상수이다.
• 역행렬 성분 $u^{i\bar{j}}$는 상수 행렬이므로 $u^{i\bar{j}} \equiv A$이다.
• 각 근처 $\{z\} \times Y$에 대한 켈러 형식 $\omega$의 풀백은 $i_z^* \omega = \omega_Y$를 만족하여, 메트릭이 $\mathbb{C}^m$ 방향으로 일정함을 보여준다.
• 메트릭 접속 $\nabla_{g_0} g$는 영이 되며, $\nabla_{g_0} g = 0$이므로 메트릭은 $\mathbb{C}^m$ 방향으로 평탄하고 전체 메트릭은 $\omega = \omega_Y + S^* \omega_{\mathbb{C}^m}$로 분해된다.