[논문 리뷰] A methodology for designing fixed-time stable systems with a predefined upper-bound in their settling time

Rodrigo Aldana‐López, David Gómez‐Gutiérrez외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 18.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 점 渐진적, 유한시간, 또는 고정시간 안정 시스템을 사용자 정의된 정착 시간 상한선(UBST)을 가진 비자율 고정시간 안정 시스템으로 재설계하는 새로운 방법론을 제안한다. 발산하는 이득 대신 유계인 시간에 따라 변하는 이득을 도입함으로써, 보장된 UBST를 갖는 유한시간 수렴을 보장하면서 외부 교란을 처리할 수 있다. 이는 기존 방법에 비해 더 높은 실용성과 낮은 보수성으로 인해 강건한 고정시간 온라인 미분기 및 관측기 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Algorithms having uniform convergence with respect to their initial condition (i.e., with fixed-time stability) are receiving increasing attention for solving control and observer design problems under time constraints. However, we still lack a general methodology to design these algorithms for high-order perturbed systems when we additionally need to impose a user-defined upper-bound on their settling time, especially for systems with perturbations. Here, we fill this gap by introducing a methodology to redesign a class of asymptotically, finite- and fixed-time stable systems into non-autonomous fixed-time stable systems with a user-defined upper-bound on their settling time. Our methodology redesigns a system by adding time-varying gains. However, contrary to existing methods where the time-varying gains tend to infinity as the origin is reached, we provide sufficient conditions to maintain bounded gains. We illustrate our methodology by building fixed-time online differentiators with user-defined upper-bound on their settling time and bounded gains.

연구 동기 및 목표

• 고차수의 외부 교란이 있는 시스템에 대해 사용자 정의된 정착 시간 상한선(UBST)을 갖는 고정시간 안정 시스템을 설계하기 위한 일반적인 방법론의 부족을 해결하기 위해.
• 기존 방법에서 시간에 따라 변하는 이득이 무한대로 발산하거나 Zeno 행동을 유도하여 실용적 적용을 제한하는 한계를 극복하기 위해.
• 고정시간 안정성을 확보하면서도 이득이 유계임을 보장하는 충분한 조건을 제공하기 위해.
• 외부 교란이 있는 시스템으로의 방법 확장으로써 강건한 관측기 및 미분기 설계를 가능하게 하기 위해.
• 기존에 보수적인 UBST 추정치를 가진 고정시간 미분기를 사용자 조절 가능한 더 낮은 정착 시간 범위로 갖는 시스템으로 재설계하기 위해.

제안 방법

• 비자율 시스템 설정을 통해 시간에 따라 변하는 이득을 도입함으로써 점 渐진적, 유한시간, 또는 고정시간 안정 시스템의 일군의 클래스를 재설계한다.
• 좌표 변환과 시간에 따라 변하는 스케일링 함수 ρ(τ)를 사용하여 원래 시스템을 조절 가능한 수렴 동역학을 갖는 보조 시스템으로 매핑한다.
• 리아푸노프 기반 분석을 통해 ρ(τ)와 이득 구조에 특정 조건이 충족될 경우 변환된 시스템의 점 渐진적 및 유한시간 안정성을 증명한다.
• ρ(τ)와 그 도함수에 대한 충분한 조건을 유도함으로써 수렴 과정 전반에 걸쳐 이득이 유계임을 보장하여 발산을 방지한다.
• 이 방법을 고정시간 슬라이딩 모드 미분기로 적용하여 사용자 정의된, 더 보수적인 UBST를 갖는 시스템을 얻는다.
• 리아푸노프 분석과 동차성 이론을 통해 이론적 보장을 확보하였으며, 증명은 부록에 제시되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수의 외부 교란이 있는 시스템에 대해 사용자 정의된 정착 시간 상한선을 갖는 고정시간 안정 시스템을 설계하기 위한 일반적인 방법론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 이득을 어떻게 설계하여 수렴 시 발산이나 Zeno 행동을 피하면서도 이득이 유계임을 보장할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 스케일링 함수 ρ(τ)와 그 도함수에 어떤 조건이 충족되어야 유한시간 안정성과 사전에 정해진 UBST를 확보할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법을 외부 교란 하에서 강건한 고정시간 관측기 및 미분기 설계에 적용할 수 있는가?
• RQ5 기존의 고정시간 미분기(예: [17]에서 제시된 것)에 비해 재설계된 시스템의 UBST 보수성은 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 방법론은 점 渐진적, 유한시간, 고정시간 안정 시스템의 일군의 클래스를 사용자 정의된 정착 시간 상한선(UBST)을 갖는 비자율 고정시간 안정 시스템으로 성공적으로 재설계한다.
• 수렴 전 과정 동안 시간에 따라 변하는 이득이 유계로 유지됨을 보장하는 충분한 조건가 유도되었다. 이는 발산 또는 Zeno 행동을 방지한다.
• 교란과 시간에 따라 변하는 스케일링 함수 ρ(τ)에 대한 약한 가정 하에서도 변환된 시스템의 유한시간 안정성을 보장한다.
• 재설계된 고정시간 미분기는 원래 [17]에서 제시된 것보다 훨씬 보수적인 추정치를 갖는다.
• 이론적 분석을 통해 변환된 시스템의 원점이 유한시간 안정적이며, 수렴 시간이 사용자 정의된 Tc로 상한선이 있음을 확인하였다.
• 이 방법론은 유계 이득과 사전에 정해진 UBST를 갖는 강건한 단일 입력 단일 출력 미지 입력 관측기 및 온라인 미분기 설계를 가능하게 한다.