[논문 리뷰] A "milder" version of Calder\'on's inverse problem for anisotropic conductivities and partial data

El Maati Ouhabaz|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 29.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 부분 Dirichlet-to-Neumann 데이터를 갖는 비등방성 타원형 연산자 간의 유니타리 동치에 대한 스펙트럼 이론적 증명을 제시한다. 만약 그들의 부분 D-t-N 사상이 축적점이 있는 집합에서 일치한다면, 로빈, 혼합 또는 딜리클레 경계 조건 하에서 해당 연산자들이 유니타리 동치임을 보여준다. 주요 결과는 유일 연장성과 연산자 확장 이론에 의존하지 않고, 고유값의 단조성과 D-t-N 사상의 해석적 성질을 사용함으로써 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Given a general symmetric elliptic operator $$ L\_{a} := \sum\_{k,,j=1}^d \p\_k (a\_{kj} \p\_j) + \sum\_{k=1}^d a\_k \p\_k - \p\_k(\overline{a\_k} .) + a\_0$$we define the associated Dirichlet-to-Neumann (D-t-N) operator with partial data, i.e., data supported in a part of the boundary. We prove positivity, $L^p$-estimates and domination properties for the semigroup associated with this D-t-N operator. Given $L\_a $ and $L\_b$ of the previous type with bounded measurable coefficients $a = \{a\_{kj}, \ a\_k, a\_0 \}$ and $b = \{b\_{kj}, \ b\_k, b\_0 \}$, we prove that if their partial D-t-N operators (with $a\_0$ and $b\_0$ replaced by $a\_0 -\la$ and $b\_0 -\la$) coincide for all $\la$, then the operators $L\_a$ and $L\_b$, endowed with Dirichlet, mixed or Robin boundary conditions are unitary equivalent. In the case of the Dirichlet boundary conditions, this result was proved recently by Behrndt and Rohleder \cite{BR12} for Lipschitz continuous coefficients. We provide a different proof which works for bounded measurable coefficients and other boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 이론을 사용하여 부분 경계 측정을 통해 비등방성 타원형 연산자 간의 유니타리 동치를 확립한다.
• 베른트와 로헬러의 D-t-N 사상 유일성 결과에 대한 대체 증명을 제공하며, 이는 로빈, 혼합 및 딜리클레 경계 조건에 대해 유효하다.
• 계수에 대한 정규성 조건을 약화시켜, 특히 차원 d = 2인 경우 립시츠 연속성 조건이 필요 없도록 한다.
• 로빈 정규화된 타원형 연산자 Lμ_a의 고유값이 로빈 매개수 μ에 대해 엄격히 단조 감소함을 보인다.

제안 방법

• 약한 해를 사용하여 부분 집합 Γ1 ⊂ ∂Ω 상에서 타원형 방정식 La(λ)u = 0에 대해 D-t-N 연산자 정의.
• C ∖ σ(LD_a) 상에서 D-t-N 사상 ⟨NΓ1,a(λ)ϕ, ψ⟩의 해석성 을 이용해 D-t-N 사상의 등식을 전체 복소수 도메인으로 확장.
• 최소-최대 원리와 유일 연장성을 사용하여 고유값 λμ_a,k 가 로빈 매개수 μ에 대해 엄격히 단조함을 증명.
• D-t-N 사상의 등식이 로빈 정규화된 연산자 Lμ_a 와 Lμ_b 의 동일한 스펙트럼과 중복도를 암시함을 증명.
• μ → −∞ 의 극한을 통해 딜리클레 경우를 복원하여, LD_a 와 LD_b 의 고유값이 동일한 중복도를 갖는다는 것을 보임.
• Lμ_a 와 Lμ_b 의 고유기저 사이에 유니타리 사상 구축하여, 모든 경계 조건 하에서의 유니타리 동치를 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 Dirichlet-to-Neumann 사상의 등식이 기저 타원형 연산자 간의 유니타리 동치를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 계수의 립시츠 연속성 조건을 가정하지 않고도, 부분 데이터를 통한 캘러존의 역문제에 대한 유일성 결과를 증명할 수 있는가?
• RQ3 로빈 정규화된 연산자 Lμ_a 의 스펙트럼 행동은 매개수 μ에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 D-t-N 사상의 해석성이 실수에서 복소수로의 등식 확장을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 다른 경계 조건(로빈, 혼합, 딜리클레)을 갖는 연산자들이 동일한 D-t-N 데이터로부터 유니타리 동치로 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 부분 D-t-N 사상 NΓ1,a(λ) 와 NΓ1,b(λ) 가 ρ(LD_a) ∩ ρ(LD_b) 내에서 축적점이 있는 집합에서 일치한다면, 로빈, 혼합 또는 딜리클레 경계 조건 하에서 La 와 Lb 는 유니타리 동치이다.
• 로빈 정규화된 연산자 Lμ_a 와 Lμ_b 의 고유값은 μ 에 대해 엄격히 감소하는 함수이며, 이는 스펙트럼 대응의 단사성을 보장한다.
• 모든 μ ∈ ℝ 에 대해 Lμ_a 와 Lμ_b 의 스펙트럼과 중복도는 동일하며, D-t-N 사상의 등식과 고유값의 단조성에 의해 확립된다.
• μ → −∞ 의 극한을 통해 딜리클레 경우를 복원하여, λD_a,k = λD_b,k 와 동일한 중복도를 갖는다는 것을 보였으며, 이는 LD_a 와 LD_b 의 유니타리 동치를 암시한다.
• σ(LD_a) = σ(LD_b) 인 λ ∉ 에 대해 (λ − Lμ_a) 의 핵의 트레이스가 (λ − Lμ_b) 의 트레이스와 동일함을 보여, 경계에서의 스펙트럼 일치를 확인한다.
• 주요 증명에서 연산자 확장 이론과 유일 연장성을 사용하지 않고, 스펙트럼 이론과 해석적 함수 계산에 의존한다.