[논문 리뷰] A Minimax Perspective on Almost-Stable Matchings

Frederik Glitzner, David F. Manlove|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 매칭 문제에서 minimax 거의-안정성을 도입하고, 강한 난해성 결과를 증명하며, 제한된 사례에 대한 긍정적 알고리즘을 제시하고, 잘 분포된 불안정성이 존재할 가능성에 대한 실증적 증거를 제공합니다.

ABSTRACT

Stability is crucial in matching markets, yet in many real-world settings - from hospital residency allocations to roommate assignments - full stability is either impossible to achieve or can come at the cost of leaving many agents unmatched. When stability cannot be achieved, algorithmicists and market designers face a critical question: how should instability be measured and distributed among participants? Existing approaches to "almost-stable" matchings focus on aggregate measures, minimising either the total number of blocking pairs or the count of agents involved in blocking pairs. However, such aggregate objectives can result in concentrated instability on a few individual agents, raising concerns about fairness and incentives to deviate. We introduce a fairness-oriented approach to approximate stability based on the minimax principle: we seek matchings that minimise the maximum number of blocking pairs any agent is in. Equivalently, we minimise the maximum number of agents that anyone has justified envy towards. This distributional objective protects the worst-off agents from a disproportionate amount of instability. We characterise the computational complexity of this notion across fundamental matching settings. Surprisingly, even very modest guarantees prove computationally intractable: we show that it is NP-complete to decide whether a matching exists in which no agent is in more than one blocking pair, even when preference lists have constant-bounded length. This hardness applies to both Stable Roommates and maximum-cardinality Stable Marriage. On the positive side, we provide polynomial-time algorithms when agents rank at most two others, and present approximation algorithms and integer programs. Our results map the algorithmic landscape and reveal fundamental trade-offs between distributional guarantees and computational feasibility.

연구 동기 및 목표

• 완전한 안정성을 달성할 수 없고 불안정성이 공정하게 분포해야 하는 매칭 시장에서 안정성 연구를 동기화한다.
• 최대 차단 페어 수를 최소화하는 공정성 지향 minimax 목표를 도입한다.
• minimax almost-stability의 계산 복잡성을 stable matching과 stable roommates 설정 전반에서 특징화한다.
• 제한된 선호 길이에 대한 긍정적 알고리즘 결과를 제공하고 일반 경우에 대한 근사 및 정수 프로그래밍 알고리즘을 개발한다.
• 실증적으로 minimax almost-stable 매칭의 존재와 품질을 평가한다.

제안 방법

• Minimax-AlmostStable-sri 및 Minimax-AlmostStable-Max-smi를 worst-case blocking pairs per agent에 집중하는 새로운 최적화 문제로 정의한다.
• 길이가 제한되거나 완전한 목록인 경우에도 sri 및 smi 설정에서 결정형 변형에 대해 NP-완전성을 보인다.
• 선호 목록의 길이가 최대 2인 경우에 다항 시간 알고리즘을 제시하고 일반 경우에 대해 근사 알고리즘과 정수 프로그래밍 형식을 제공한다.
• minimax almost-stability를 기존의 총합적 불안정성 개념과 차단 에이전트 수와의 관계와 대조하여 구조적 차이를 확립한다.
• 문제 규모에 따라 minimax 값이 어떻게 스케일되는지에 관한 이론적 하한을 구성하고 특정 구성에서의 타이트성을 증명한다.

Figure 1 . Schematic illustration of the sri lower-bound construction for 27 agents (i.e,. $k=3$ ). Agents are partitioned into 3 nested sets containing $3^{j}$ (for $1\leq i\leq k$ ) agents each. Arrows indicate preference cycles within and between the nested levels.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 sri 및 smi 설정에서 minimax almost-stable 매팅을 찾는 계산 복잡성은?
• RQ2 제한된 선호 길이에 대해 minimax almost-stable 매칭을 다항 시간에 계산할 수 있는가?
• RQ3 minimax almost-stable 매칭은 공정성과 실행 가능성 측면에서 총합 불안정성 measures 및 차단 에이전트 수와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 일반 설정에서 minimax almost-stable 문제를 해결할 수 있는 근사화 및 정확 최적화 접근법은 무엇인가?
• RQ5 실증 분석은 실무에서 잘 분포된 불안정성 매칭이 존재한다는 것을 시사하는가?

주요 결과

• 차단 페어가 한 명의 에이전트당 최대 한 개인 매칭이 존재하는지 결정하는 문제는 sri 및 smi에서 NP-완전하며 목록 길이가 상수로 제한된 경우에도 마찬가지이다.
• Minimax-AlmostStable-Max-smi의 최악의 경우 최적 값 OPT = Θ(n)으로 에이전트 수에 따라 선형 증가를 나타낸다.
• 선호 목록 길이가 최대 2인 사례에 다항 시간 알고리즘이 존재한다.
• 일반 설정에 대해 근사 알고리즘과 정확한 정수 프로그래밍 모델을 제공한다.
• 실험은 거의-안정 및 최대 카디널리티 매칭이 바람직한 불안정성 분포를 가지는 경우 존재할 가능성을 시사한다.

Figure 2 . Illustration of the lower-bound construction for maximum-cardinality matchings in smi .