[논문 리뷰] A model category structure on the category of simplicial categories

Julia E. Bergner|ArXiv.org|2004. 06. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소형 심플리셜 카테고리의 범주에 대해 코프리브리언트 생성 모델 범주 구조를 수립한다. 여기서 약한 동치는 DK-동치(모든 사상 공간에 대해 약한 동치를 유도하고 호모토피 카테고리에서 동치를 유도함)이며, 필버레이션은 수준별 필버레이션으로서 호모토피 올림 조건을 만족하며, 코프리브레이션은 좌측 상향성질로 정의된다. 주요 기여는 Dwyer, Hirschhorn, Kan이 이전에 제안한 모델 구조에서 발생한 오류를 수정한 올바른 생성 액티브 코프리브레이션의 집합을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we put a cofibrantly generated model category structure on the category of small simplicial categories. The weak equivalences are a simplicial analogue of the notion of equivalence of categories.

연구 동기 및 목표

• Dwyer, Hirschhorn, Kan이 이전에 제안한 심플리셜 카테고리의 모델 구조에서 일부 생성 액티브 코프리브레이션이 실제로 약한 동치가 아니라는 결함을 수정하기 위해.
• 소형 심플리셜 카테고리의 범주에 대해 DK-동치를 약한 동치로 하는 적절한 코프리브리언트 생성 모델 범주 구조를 정의하기 위해.
• 호모토피 이론의 호모토피 이론을 다루기 위한 기초를 제공하고, 다른 모델 구조들과의 퀼렌 동치를 통해 연결하기 위해.
• 토엔과 베조지가 사용한 고차 카테고리 이론과 호모토피 대수기하학과의 호환성을 확보하기 위해.
• 심플리셜 카테고리의 모델 범주와 다른 알려진 호모토피 이론의 모델 범주들 사이에 잘 정의된 퀼렌 동치를 구축하기 위해.

제안 방법

• 약한 동치를 정의하기 위해, 모든 사상 공간에 대해 약한 동치를 유도하고 호모토피 카테고리에서 동치를 유도하는 함자로 정의한다 (사상 공간의 π₀).
• 필버레이션을 정의하기 위해, 사상 공간에서 수준별 필버레이션으로서, 호모토피 동치에 대해 호모토피 올림 조건을 만족하는 함자로 정의한다.
• 코프리브레이션을 정의하기 위해, 액티브 필버레이션(즉, 필버레이션이자 약한 동치인)에 대해 좌측 상향성질을 가지는 사상으로 정의한다.
• 구간에서 구간으로의 사상의 비자명한 호모토피 클래스를 제거하는 전순서적 합성 과정을 사용하여 분해 체계를 구성한다.
• 레마 4.2를 활용하여, 주어진 차원까지 약하게 수축 가능한 심플리셜 집합으로 사상 공간을 대체함으로써 분해를 수행한다. 이로 인해 생성된 범주는 자유롭고 코프리브레인트가 된다.
• 심플리셜 집합이 가 countable 개의 단체를 가진다면, 구간에서의 사상에 대한 호모토피 클래스의 수가 최대 가 countable 개 이하이므로, 전순서적 구성 과정이 잘 정의된 방식으로 종료됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소형 심플리셜 카테고리의 범주에 대해 DK-동치를 약한 동치로 하는 코프리브리언트 생성 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 모델 구조가 공리, 특히 상향성질을 만족시키기 위해 필요한 올바른 생성 액티브 코프리브레이션의 집합은 무엇인가?
• RQ3 Dwyer, Hirschhorn, Kan의 이전 모델 구조에서 일부 제안된 액티브 코프리브레이션이 실제로 약한 동치가 아니라는 오류는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어진 모델 범주는 다른 알려진 호모토피 이론의 모델 범주들과 퀼렌 동치인가?
• RQ5 이 구성은 심플리셜 집합을 위상 공간으로 대체함으로써 위상적 카테고리로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 소형 심플리셜 카테고리의 범주에 대해 DK-동치를 약한 동치로 하는 코프리브리언트 생성 모델 범주 구조가 존재한다.
• 생성 액티브 코프리브레이션은 명시적으로 구성되었고, 실제로 약한 동치임이 확인되었으며, 이는 이전 모델 구조의 오류를 수정한 것이다.
• 필버레이션은 사상 공간에서의 수준별 필버레이션과 호모토피 동치에 대해 호모토피 올림 조건을 만족함으로써 특징지어진다.
• 코프리브레이션은 액티브 필버레이션에 대해 좌측 상향성질을 가지며, 이는 모델 구조가 퀼렌 공리를 만족함을 보장한다.
• 이 구성은 구간에서 사상 공간으로의 비자명한 호모토피 클래스를 제거하는 전순서적 과정을 포함하며, 결과적으로 자유 심플리셜 카테고리가 된다.
• 결과로 얻어진 모델 구조는 이후 저자의 작업에서 밝혀진 lin, 3개의 다른 알려진 호모토피 이론의 모델 구조들과 퀼렌 동치이다.