[논문 리뷰] A model for one-dimensional morphoelasticity and its application to fibroblast-populated collagen lattices

Shakti N. Menon, Cameron L. Hall외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 30.

Cellular Mechanics and Interactions참고 문헌 143인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변형률 계수의 곱셈 분해와 효과적 변형률에 대한 진화 방정식을 사용하여 섬유아세포가 포함된 콜라겐 라티스(FPCLs)에서의 조직 재편성 동역학을 기반으로 1차원 형태탄성 모델을 제안한다. 이 모델은 점탄성과 유사한 재편성 특성을 결합하여, 재편성이 중단될 경우 지속적인 수축 후 갑작스러운 재팽창이 관찰되는 실험 결과를 성공적으로 재현한다.

ABSTRACT

The mechanical behaviour of solid biological tissues has long been described using models based on classical continuum mechanics. However, the classical continuum theories of elasticity and viscoelasticity cannot easily capture the continual remodelling and associated structural changes of biological tissues. Furthermore, models drawn from plasticity theory are difficult to apply and interpret in this context, where there is no equivalent of a yield stress or flow rule. In this work, we describe a novel one-dimensional mathematical model of tissue remodelling based on the multiplicative decomposition of the deformation gradient. We express the mechanical effects of remodelling as an evolution equation for the 'effective strain', a measure of the difference between the current state and a hypothetical mechanically-relaxed state of the tissue. This morphoelastic model combines the simplicity and interpretability of classical viscoelastic models with the versatility of plasticity theory. A novel feature of our model is that while most models describe growth as a continuous quantity, here we begin with discrete cells and develop a continuum representation of lattice remodelling based on an appropriate limit of the behaviour of discrete cells. To demonstrate the utility of our approach, we use this framework to capture qualitative aspects of the continual remodelling observed in fibroblast-populated collagen lattices, in particular its contraction and its subsequent sudden re-expansion when remodelling is interrupted.

연구 동기 및 목표

• 생물 조직의 지속적인 구조적 변화를 고려한 수학적으로 다룰 수 있는 조직 재편성 모델을 개발하기 위해.
• 고전적 탄성론과 점탄성론이 활성적인 재편성 과정을 포괄하지 못하는 한계를 해결하기 위해.
• FPCLs에서 이산세포 행동과 연속체 수준의 기계적 반응 사이의 격차를 메우기 위해.
• 지속적인 수축과 재편성이 중단될 경우 발생하는 갑작스러운 재팽창과 같은 주요 실험 현상을 재현하기 위해.
• 성장, 응력, 변형률 진화를 하나의 일관된 모델 안에서 물리적으로 해석 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 변형률 계수를 탄성 및 재편성(성장 유사) 성분으로 분해하는 곱셈 분해를 사용한다.
• 효과적 변형률 eE를 가상의 기계적 평형 상태에서의 편차를 측정하는 척도로 정의한다.
• 재편성 속도 g(x,t)의 물질 도함수를 사용하여 eE에 대한 진화 방정식을 유도함으로써, 소스 항을 포함한 하이퍼볼릭 타입의 대류 방정식을 도출한다.
• 유클리드 변형률에 기반한 선형 물성 법칙 σ = E(1 − α⁻¹)를 적용하여 응력과 효과적 변형률 사이의 직접적 연결을 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변화하는 응력 완화를 가능하게 하기 위해 켈빈–보이트 점탄성 법칙을 모델에 통합한다.
• 체인 규칙과 속도 구배 관계를 사용하여 라그랑주 기준과 오일러 기준 간 방정식을 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속체 모델은 섬유아세포가 포함된 콜라겐 라티스의 동적 재편성을 어떻게 모사할 수 있는가?
• RQ2 효과적 변형률은 편안한 조직 상태에서의 기계적 편차를 어떻게 정량화하는가?
• RQ3 재편성이 중단될 경우 모델은 실험적으로 관찰된 수축 후 재팽창을 어떻게 재현하는가?
• RQ4 효과적 변형률에 대한 단일 진화 방정식을 가진 형태탄성 모델은 FPCLs에서 관찰되는 복잡한 기계적 거동을 재현할 수 있는가?
• RQ5 변형률 척도 선택(유클리드형 대비 라그랑주형)은 모델의 예측 능력에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모델은 실험에서 관찰된 바와 같이 지속적인 재편성에 의해 유도되는 FPCLs의 수축을 성공적으로 재현한다.
• 재편성이 중단될 경우 모델은 갑작스러운 재팽창을 예측하여 실험에서 관찰된 조직 회복 현상과 일치한다.
• 효과적 변형률의 진화는 하이퍼볼릭 편미분방정식 ∂eE/∂t + ∂(eE v)/∂x = ∂v/∂x − g(x,t)로 기술되며, 이는 변형률의 대류와 성장에 기인한 변화를 포괄한다.
• 유클리드 변형률(eE = 1 − α⁻¹)의 사용은 선형 응력-변형률 관계 σ = E eE를 가능하게 하여 물성 모델을 단순화하면서도 물리적 일관성을 유지한다.
• 라그랑주 기준과 오일러 기준 간의 변환은 엄밀하게 유도되었으며, 이는 양 기준계에서 일관된 수식화를 가능하게 한다.
• 모델은 이산세포 활동에서 기인하는 재편성도 적절한 연속체 근사에 의해 지속적인 과정으로 간주할 수 있음을 보여준다.