[논문 리뷰] A model for the quasi-static growth of a brittle fracture: existence and approximation results

Gianni Dal Maso, Rodica Toader|ArXiv.org|2001. 01. 10.

Contact Mechanics and Variational Inequalities인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 2차원 선형 탄성 물질에서 연약한 균열의 비가역적, 정적 성장에 대한 변분 모델을 그리피스의 에너지 기준에 기반해 엄밀한 수학적 형식으로 제시한다. 각 단계에서 전체 에너지를 최소화하는 시간 이산화 기법을 사용하며, 새로운 균열은 이전 모든 균열을 포함해야 한다는 조건을 만족시킨다. 저자들은 총 에너지가 시간에 대해 절대 연속이지만, 체적 에너지와 표면 에너지가 점프 불연속성을 보일 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We give a precise mathematical formulation of a variational model for the irreversible quasi-static evolution of a brittle fracture proposed by G.A. Francfort and J.-J. Marigo, and based on Griffith's theory of crack growth. In the two-dimensional case we prove an existence result for the quasi-static evolution and show that the total energy is an absolutely continuous function of time, although we can not exclude that the bulk energy and the surface energy may present some jump discontinuities. This existence result is proved by a time discretization process, where at each step a global energy minimization is performed, with the constraint that the new crack contains all cracks formed at the previous time steps. This procedure provides an effective way to approximate the continuous time evolution.

연구 동기 및 목표

• 프랑소와-마리고의 변분 모델에 기반해 정적 연약한 균열 성장에 대한 정확한 수학적 형식을 제공하는 것.
• 비가역적 균열 성장 조건 하에서 2차원에서의 정적 균열 진화의 존재성을 확립하는 것.
• 각 단계에서 에너지 최소화를 보장하면서도 균열 진화의 역사를 유지하는 시간 이산화 방법을 개발하는 것.
• 총 에너지가 시간에 대해 절대 연속임을 증명하는 것, 비록 체적 또는 표면 에너지가 점프 불연속성을 보일 수는 있지만.
• 수렴 증명에서의 수렴 보장을 위해 연결된 균열(연속체)을 수학적 단순화로 사용하는 것이 정당화되는 조건을 제시하는 것.

제안 방법

• 탄성 에너지(변위 기울기의 딜레르트 적분을 통한)와 표면 에너지(균열 집합의 하우스도르프 측도)의 합으로 총 에너지를 정의하며, 고정된 균열 힘 매개변수를 사용한다.
• 비가역성을 보장하기 위해 이전 모든 균열을 포함하는 모든 컴팩트하고 연결된 균열에 대해 각 시간 단계에서 전체 에너지 최소화를 시행한다.
• 시간 이산화 기법을 사용하며, $ H^1(Ω) $ 내에서 절대 연속적인 경계 데이터를 보장하여 외부 하중의 매끄러운 진화를 확보한다.
• 비연속성 있는 균열과 최소화 문제를 다루기 위해 Deny-Lions 공간과 유계 변동 함수의 성질을 적용한다.
• 균열 끝부리 주변의 작은 구 안에서 국소 에너지 비교 기법을 적용하여 에너지 최소화를 위한 필요 조건을 도출한다.
• 국소 영역에서 에너지가 균열 길이에 대해 미분 가능함을 증명하고, 응력 집중 계수와 균열 속도를 포함하는 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프랑소와-마리고의 변분 모델에 기반해, 연약한 균열의 수학적으로 잘 정의된 정적 진화가 존재하는가?
• RQ2 역사에 의존하는 에너지 최소화를 갖는 시간 이산화 접근법이 시간에 따른 연속적인 균열 진화를 도출할 수 있는가?
• RQ3 체적 에너지나 표면 에너지가 점프 불연속성을 보일 수는 있지만, 총 에너지는 시간에 대해 절대 연속적인가?
• RQ4 균열 성장이 그리피스의 에너지 기준과 일치하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 균열 끝부리의 국소적 행동은 에너지 균형과 응력 집중 계수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 선형 탄성, 등방성 물질을 갖는 2차원 반면 탄성 문제에서 연약한 균열의 정적 진화 존재성이 증명된다.
• 체적 에너지와 표면 에너지 성분이 점프 불연속성을 보일 수는 있지만, 총 에너지가 시간에 대해 절대 연속임이 입증된다.
• 각 단계에서 전체 최소화를 시행하는 시간 이산화 방법은 연속 진화에 수렴하는 근사값을 제공한다.
• 균열 끝에서 에너지 최소화를 위한 필요 조건이 유도되며, 이는 응력 집중 계수와 균열 속도를 포함하며, 식 $ \bigl\{1 - \kappa^2\bigr\} \dot{\sigma} \geq 0 $ 로 표현된다.
• 모델은 균열 성장이 비가역적이며, 그리피스 기준에서 요구하는 에너지 방출률과 일치함을 보장한다.
• 기계적 동기가 부족하더라도 존재 증명에서 수렴을 보장하기 위해 연결된 균열(연속체)을 사용하는 것이 기술적 필요성으로서 정당화된다.