[논문 리뷰] A model-free version of the fundamental theorem of asset pricing and the super-replication theorem

Beatrice Acciaio, Mathias Beiglböck외 2명|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|2013. 01. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 위험 자산과 그에 대한 옵션을 포함하는 이산시간, 유한기한 설정에서 자산가격 정리의 모델에 의존하지 않는 형태와 초과복제 정리를 수립한다. 초과선형적으로 증가하는 수익을 갖는 거래 가능한 옵션(예: 파wr 옵션)이 존재한다고 가정함으로써, 모델에 의존하지 않는 아웃리어의 부재는 관측된 옵션 가격과 일치하는 마틴갈 측도의 존재와 동치임을 증명하고, 이러한 측도 하에서 최소 초과복제 비용이 상한 모델에 의존하지 않는 가격과 일치함을 보인다.

ABSTRACT

We propose a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Super-Replication Theorem in a model-independent framework. We prove these theorems in the setting of finite, discrete time and a market consisting of a risky asset S as well as options written on this risky asset. As a technical condition, we assume the existence of a traded option with a super-linearly growing payoff-function, e.g., a power option. This condition is not needed when sufficiently many vanilla options maturing at the horizon T are traded in the market.

연구 동기 및 목표

• 기초 자산에 대한 특정 확률적 모델을 가정하지 않고 자산가격 정리의 모델에 의존하지 않는 형태를 수립하기 위해.
• 약한 또는 모델에 의존하는 아웃리어 문제를 해결하기 위해, 거래 가능한 옵션의 초과선형적으로 증가하는 수익의 존재라는 충분조건을 도입하기 위해.
• 모델에 의존하지 않는 초과복제 정리를 증명하여, 어떤 파생상품에 대해 최소 초과복제 비용이 모든 일치하는 마틴갈 측도에 대한 기대 수익의 상한과 동일함을 보여주기 위해.
• 강건한 헤징과 마틴갈 부등식 간의 연결을 제시하여, 알려진 부등식(예: 두브의 L¹ 부등식)이 경로 기반 초과복제 전략을 통해 유도될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 프레임워크는 반정적 거래 전략을 사용한다: 알려진 가격을 갖는 옵션에서의 정적 포지션과 기초 위험 자산 S에 대한 동적이고 자기자금 보장 전략.
• 모델에 의존하지 않는 아웃리어는 모든 가능한 경로에서 초기 비용이 0이고 종료 시점의 가치가 엄격히 양수인 반정적 전략으로 정의된다.
• 핵심 기술적 조건은 수익 함수가 선형보다 더 빠르게 증가하는 거래 가능한 옵션의 존재이다(예: (x−k)₊²), 이는 일치하는 마틴갈 측도의 존재를 보장한다.
• 논문은 관측된 옵션 가격과 일치하고 S가 마틴갈이 되는 경로 공간 ℝ₊ᵀ 위의 모든 확률 측도의 집합을 사용한다.
• 모델에 의존하지 않는 파생상품 Φ의 상한 가격이 반정적 전략을 통해 최소 초과복제 비용과 동일함을 증명한다.
• 증명 기법은 볼록 해석학과 가격 설정과 헤징 간의 이중성에 기반하며, 이전의 스토카로호드 임베딩 및 강건한 헤징 연구 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델에 의존하지 않는 아웃리어의 부재가 모델에 의존하지 않는 설정에서 일치하는 마틴갈 측도의 존재를 의미하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 경로에 의존하는 파생상품을 초과복제하기 위한 최소 비용은 모든 일치하는 마틴갈 측도에 대한 기대 수익의 상한으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 초과선형 수익을 갖는 하나의 옵션의 존재가 모델 가정 없이 자산가격 정리의 타당성을 보장하는가?
• RQ4 클래식한 마틴갈 부등식, 예를 들어 두브의 L¹ 부등식은 모델에 의존하지 않는 프레임워크에서 경로 기반 초과복제 전략을 통해 도출될 수 있는가?
• RQ5 모델 가정 없이 상한 모델에 의존하지 않는 가격과 최소 초과복제 비용 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 초과선형적으로 증가하는 수익을 갖는 거래 가능한 옵션(예: 파워 옵션)의 존재는 모델에 의존하지 않는 아웃리어의 부재가 일치하는 마틴갈 측도의 존재와 동치임을 보장한다.
• 모든 파생상품 Φ의 최소 초과복제 비용은 상한 모델에 의존하지 않는 가격과 동일하며, 이는 모든 일치하는 마틴갈 측도에 대한 기대 수익의 상한으로 정의된다.
• 상한 모델에 의존하지 않는 가격은 항상 일치하는 마틴갈 측도 집합에서 최댓값으로 달성된다.
• 두브의 L¹ 부등식의 경우, 경로 기반 초과복제 전략을 명시적으로 구성한다: supₜ Sₜ ≤ (e/(e−1))(Sₜ log Sₜ + 1) − (log(̄Sₜ) ⋆ S)ₜ이며, 기대값을 취할 경우 부등식이 유도된다.
• 결과는 다른 마틴갈 부등식으로 일반화되며, 이러한 부등식들이 확률 모델을 가정하지 않고 강건한 헤징 전략을 통해 도출될 수 있음을 보여준다.
• 이 프레임워크는 경로에 의존하는 무한한 수의 옵션을 허용하며, 만기 시 바닐라 옵션만 존재하더라도 충분히 많은 경우에 확장 가능하다.