[논문 리뷰] A modified lookdown construction for the Xi-Fleming-Viot process with mutation and populations with recurrent bottlenecks

Matthias Birkner, Jochen Blath외 3명|ArXiv.org|2008. 08. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 32인용 수 81

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이를 고려한 $ξ$-Fleming-Viot 과정에 대해 수정된 룩다운 구성법을 제안하며, $ξ$-공진산자와의 경로 기반 이중성과 입자 시스템의 수렴성을 확립한다. 주요 기여는 교환 가능한 입자 시스템을 통한 $ξ$-Fleming-Viot 과정의 엄밀하고 명시적인 구성과, Hille-Yosida 정리를 기반으로 한 대체 반군 구성법을 제시함으로써, Donnelly와 Kurtz의 프레임워크를 일반적인 $ξ$-공진산자와 반복되는 붕괴 구조를 갖는 경우로 확장하는 데 있다.

ABSTRACT

Let $Λ$ be a finite measure on the unit interval. A $Λ$-Fleming-Viot process is a probability measure valued Markov process which is dual to a coalescent with multiple collisions ($Λ$-coalescent) in analogy to the duality known for the classical Fleming Viot process and Kingman's coalescent, where $Λ$ is the Dirac measure in 0. We explicitly construct a dual process of the coalescent with simultaneous multiple collisions ($Ξ$-coalescent) with mutation, the $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation, and provide a representation based on the empirical measure of an exchangeable particle system along the lines of Donnelly and Kurtz (1999). We establish pathwise convergence of the approximating systems to the limiting $Ξ$-Fleming-Viot process with mutation. An alternative construction of the semigroup based on the Hille-Yosida theorem is provided and various types of duality of the processes are discussed. In the last part of the paper a population is considered which undergoes recurrent bottlenecks. In this scenario, non-trivial $Ξ$-Fleming-Viot processes naturally arise as limiting models.

연구 동기 및 목표

• 돌연변이를 포함한 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 Donnelly-Kurtz의 룩다운 구성법을 일반화하여, 동시에 다수의 집단이 융합되는 $ξ$-공진산자와의 이중성을 확립한다.
• 교환 가능한 입자 시스템의 경험 측도를 통해 $ξ$-Fleming-Viot 과정의 경로 기반 구성법을 제공한다.
• 근사 입자 시스템의 수렴성을 제한적인 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 증명한다.
• Hille-Yosida 정리를 이용한 대체 반군 구성법을 개발하고, 과정의 생성자를 유도한다.
• 반복되는 붕괴를 겪는 인구집단에서 비트리비얼한 $ξ$-Fleming-Viot 과정이 어떻게 나타나는지 분석한다.

제안 방법

• 각 개체에 수준을 할당하고 $ξ$-측도에 기반한 부모 선택을 통해 유형을 상속하는 교환 가능한 입자 시스템을 사용하여 수정된 룩다운 과정을 구성한다.
• 모든 $\mathbf{k}$-형질 갱신 사건에 대해 $r_N(\mathbf{k})$의 비율 함수를 정의하며, 크기가 $k_1,\dots,k_m$인 $m$개의 그룹이 동시에 형질을 갱신한다.
• 입자 시스템의 경험 측도가 분포상으로 및 부분수열에 대해 거의 확실히 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 수렴함을 증명한다.
• 전진 과정과 조상 과정을 쌍용하여 $ξ$-Fleming-Viot 과정과 $ξ$-공진산자 사이의 경로 기반 이중성을 확립한다.
• Hille-Yosida 정리를 이용하여 $ξ$-Fleming-Viot 과정의 반군을 구성하고, 시험 함수에 대해 적분을 통해 생성자를 유도한다.
• 파라미터 $\theta > 0$를 가진 포isson-dirichlet 케이스를 분석하여, $ξ$-측도가 $\Delta_j$에서 $\theta^j \zeta_1 \cdots \zeta_j (1 - \sum \zeta_i)^{\theta-1}$ 비례하는 밀도를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Donnelly-Kurtz의 룩다운 구성법은 어떻게 돌연변이와 동시에 다수의 융합을 허용하는 공진산자로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 교환 가능한 입자 시스템의 경험 측도가 제한적인 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 경로 기반 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $ξ$-Fleming-Viot 과정은 반복되는 붕괴를 겪는 인구집단에서 어떻게 자연스럽게 나타나는가?
• RQ4 $ξ$-Fleming-Viot 과정의 명시적 생성자는 무엇이며, 기능적 해석을 통해 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 파라미터 $\theta > 0$를 가진 포isson-dirichlet 공진산자에서 다수의 융합 비율은 무엇이며, 스틸링 수와 $[\theta]_n$ Pochhammer 기호와의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 수정된 룩다운 구성법은 Donnelly-Kurtz 프레임워크를 돌연변이를 포함한 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 성공적으로 확장하며, $ξ$-공진산자와의 경로 기반 쌍용을 제공한다.
• 교환 가능한 입자 시스템의 경험 측도는 분포상으로 및 부분수열에 대해 거의 확실히 $ξ$-Fleming-Viot 과정으로 수렴한다.
• 파라미터 $\theta > 0$를 가진 포isson-dirichlet 공진산자에서 융합 비율은 $\lambda(k_1,\dots,k_j) = \frac{\theta^j}{[\theta]_k} \prod_{i=1}^j (k_i - 1)!$ 로 주어지며, 여기서 $[\theta]_k = \theta(\theta+1)\cdots(\theta+k-1)$ 이다.
• 포isson-dirichlet 공진산자에서 블록 수 계산 과정 $D_t = |\Pi_t|$의 전이 비율은 $g_{nk} = \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$ 이며, 여기서 $s(n,k)$는 첫 번째 종류의 부호 없는 스틸링 수이다.
• 블록 수가 $n$에서 $k < n$으로의 공진산 비율 총합은 $g_n = 1 - \frac{\theta^n}{[\theta]_n}$ 이며, 각 단계에서 잃어버리는 블록의 기대 수는 $\mathbb{E}[K_n] = \sum_{k=1}^n \frac{\theta^k}{[\theta]_n} s(n,k)$ 이다.
• 포isson-dirichlet 공진산자는 거의 확실히 무한하게 유지되며, $\sum_{n=2}^\infty \gamma_n^{-1} = \infty$ 이고 $\gamma_n \leq n$ 이며, $\Xi(\Delta_f) = 0$ 이므로 유한 빈도의 구조가 없음을 확인한다.