[논문 리뷰] A Modified Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 22.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비발산형 제2차 타원형 편미분방정식을 위한 수정된 원시-이중 약한 갈레르킨(M-PDWG) 유한요소법을 제안한다. 이 방법은 이중 변수(라그랑주 승수)를 제거하여 자유도와 조건수를 감소시킨다. 이 방법은 이산 $H^2$, $H^1$, $L^2$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 달성하며, 스무스하고 스무스하지 않은 계수, 볼록 및 비볼록 도메인에서의 수치 결과는 정확성을 확인한다.

ABSTRACT

A modified primal-dual weak Galerkin (M-PDWG) finite element method is designed for the second order elliptic equation in non-divergence form. Compared with the existing PDWG methods proposed in \cite{wwnondiv}, the system of equations resulting from the M-PDWG scheme could be equivalently simplified into one equation involving only the primal variable by eliminating the dual variable (Lagrange multiplier). The resulting simplified system thus has significantly fewer degrees of freedom than the one resulting from existing PDWG scheme. In addition, the condition number of the simplified system could be greatly reduced when a newly introduced bilinear term in the M-PDWG scheme is appropriately chosen. Optimal order error estimates are derived for the numerical approximations in the discrete $H^2$-norm, $H^1$-norm and $L^2$-norm respectively. Extensive numerical results are demonstrated for both the smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains to verify the accuracy of the theory developed in this paper.

연구 동기 및 목표

• 스무스하지 않은 계수 텐서를 가진 비발산형 제2차 타원형 편미분방정식을 해결하는 데 도전하는 것.
• 기존의 원시-이중 약한 갈레르킨(PDWG) 방법에서 높은 계산 비용과 큰 조건수 문제를 해결하는 것.
• 정확성과 안정성을 유지하면서 이중 변수를 제거한 단순화된 시스템을 개발하는 것.
• H^2-정규성과 코르데스 유형 조건 하에서 최적의 오차 추정치를 확립하는 것.
• 볼록 및 비볼록 도메인, 스무스 및 비스무스 계수에서 광범위한 수치 실험을 통해 방법의 강건성을 검증하는 것.

제안 방법

• 시스템을 안정화하기 위해 새로운 이차형식 $c(\cdot,\cdot)$를 도입한 수정된 원시-이중 약한 갈레르킨(M-PDWG) 스킴을 제안한다.
• 약한 헤시안과 연속성 조건을 강제하기 위해 라그랑주 승수를 포함한 변분형식을 사용하여 방법을 수립한다.
• 스chu르 보완 축소를 통해 이중 변수를 제거하여 원시 변수만을 포함한 단순화된 시스템을 도출한다.
• 적절히 선택된 경우, 이중형식 $c(\cdot,\cdot)$가 조건수를 크게 감소시킨다.
• 원시 변수는 $C^0$-연속 유한요소 공간을, 요소 경계의 추적 공간은, 승수에는 불연속 공간을 사용한다.
• 균일 타원성과 코르데스 조건을 만족하는 조각별 연속 계수 텐서를 가진 다면체 메esh에 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확성을 희생시키지 않고 이중 변수를 제거함으로써 원시-이중 약한 갈레르킨 방법을 단순화할 수 있는가?
• RQ2 새로운 이차형식 $c(\cdot,\cdot)$의 도입이 결과 선형 시스템의 조건수와 조건화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 스무스하지 않거나 불연속 계수 텐서를 가진 문제에서 M-PDWG 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 H^2-정규성과 코르데스 유형 조건 하에서 $H^2$, $H^1$, $L^2$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ5 비볼록 도메인과 불연속 계수에서 이 방법의 수치적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• M-PDWG 방법은 시스템을 원시 변수에 대한 단일 방정식으로 단순화하여 원래 PDWG 스킴에 비해 자유도와 계산 비용을 감소시킨다.
• 적절히 선택된 경우, 단순화된 시스템의 조건수가 크게 감소한다.
• 이산 $H^2$-노름에서 최적 순서의 오차 추정치가 도출되었으며, $P_2$ 요소의 경우 수렴 속도는 $O(h^2)$이다.
• 수치적으로 $L^2$-노름에서 $O(h)$, $H^1$-노름에서 $O(h)$의 수렴 속도가 관측되었으며, 이는 스무스성 가정 하에 이론과 일치한다.
• $\Omega_2$에서 불연속 계수에 대해 라그랑주 승수가 $L^2$-노름에서 $O(h^{0.6})$의 속도로 수렴하며, 이는 이론적 기대와 일치한다.
• $\Omega_1$과 $\Omega_2$에서의 수치 결과는 스무스 및 비스무스 계수를 가진 볼록 및 비볼록 도메인에서 모두 강건한 성능을 확인한다.