[논문 리뷰] A modified semi--implict Euler-Maruyama Scheme for finite element discretization of SPDEs with additive noise

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 12.

Structural Health Monitoring Techniques인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추가적인 공간-시간 노이즈를 가진 2계 확률 편미분방정식을 해결하기 위해 유한요소 공간 이산화와 결합된 수정된 준암시적 오일러-마루야마 스킴을 제안한다. 표준 준암시적 스킴에 비해 루트 평균 제곱 $L^2$ 노름에서 수렴 속도를 향상시키기 위해 노이즈의 선형 함수를 통합함으로써 성과를 달성하였으며, 선형 및 비선형 반응-확산-대류 방정식에 대한 분석과 수치 실험을 통해 검증되었다. 2차원에서의 성능이 입증되었다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of a general second order semi--linear parabolic stochastic partial differential equation (SPDE) driven by additive space-time noise. We introduce a new modified scheme using a linear functional of the noise with a semi--implicit Euler--Maruyama method in time and in space we analyse a finite element method (although extension to finite differences or finite volumes would be possible). We prove convergence in the root mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and diffusion advection reaction equation. We present numerical results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation. We see from both the analysis and numerics that the proposed scheme has better convergence properties than the standard semi--implicit Euler--Maruyama method.

연구 동기 및 목표

• 추가 노이즈를 가진 2계 준선형 포물형 SPDE의 강한 근사에 대해 더 정확한 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 비선형 Nemytskii 연산자를 포함할 경우 표준 준암시적 오일러-마루야마 스킴의 순서 감소 문제를 해결하기 위해.
• 선형 연산자 및 노이즈 공분산 연산자의 고유함수와 고유값을 명시적으로 알 필요 없이 유한요소를 통해 공간 이산화를 가능하게 하기 위해.
• 확산-반응 및 대류-확산-반응 방정식에 대해 루트 평균 제곱 $L^2$ 노름에서 수렴성을 확립하기 위해.
• 이론적 분석과 2차원 수치 시뮬레이션을 통해 향상된 수렴 성질을 입증하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 모드에서의 확률적 복합체의 정확한 분산을 바탕으로 한 노이즈의 선형 함수를 사용하여 수정된 준암시적 오일러-마루야마 시간 스텝 스킴을 구성하였다.
• 복잡한 도메인과 경계 조건을 고려한 유연성을 확보하기 위해, 스펙트럼 기저 지식이 필요 없이 유한요소 방법을 사용하여 공간 이산화를 수행하였다.
• 스킴은 스토크스 복합체 근사 $O_m = \int_{t_m}^{t_{m+1}} e^{(t_{m+1}-s)A} dW(s)$ 를 사용하였으며, 노이즈 항은 $\mathbf{E}[(e_i, O_m)^2] = e^{-2\lambda_i \Delta t} \frac{q_i}{2\lambda_i} (1 - e^{-2\lambda_i \Delta t})$ 를 통해 계산되었다.
• 고차 스킴에서 요구하는 엄격한 가환성 가정을 피하기 위해, 안정성과 정확도를 유지하면서도 수정된 시간 스텝 형식을 사용하였다.
• 이산 그론월의 부등식과 유한요소 사영 및 시간 적분 오차 항에 대한 추정을 사용하여 이론적 수렴성을 증명하였다.
• 수치 구현은 혼합 경계 조건을 갖는 직사각형 도메인과 노이즈의 마테른 유형 공분산을 사용하였으며, 무한 도메인 적분과 정확한 가우시안 평가를 통해 근사하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 노이즈를 가진 SPDE에 대해, 수정된 준암시적 오일러-마루야마 스킴이 표준 스킴보다 더 높은 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 기저 지식이 없이도 노이즈의 선형 함수 사용이 유한요소 이산화에서 안정성과 정확도를 향상시키는가?
• RQ3 일반적인 경계 조건 하에서 비선형 대류-확산-반응 SPDE에 대해 제안된 스킴이 고차수 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ4 루트 평균 제곱 $L^2$ 노름에서 수정된 스킴의 수렴 속도는 표준 준암시적 오일러-마루야마 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 노이즈 선형화와 결합된 공간 유한요소 근사가 전체 수렴에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 선형 및 비선형 SPDE에 대해 표준 준암시적 오일러-마루야마 방법에 비해 루트 평균 제곱 $L^2$ 노름에서 향상된 수렴 속도를 달성한다.
• 확산-반응 방정식의 경우, 해의 정(regularity)과 관련된 $\beta < 2$ 에 대해 수렴 순서 $\mathcal{O}(h^\beta + \Delta t^{\beta/2})$ 를 보이며, $\beta$ 는 해의 정(regularity)과 관련된다.
• 2차원 선형 반응-확산 방정식에 대한 수치 결과는 이론적 수렴 속도를 확인하였으며, 표준 스킴에 비해 오차가 감소한 것으로 나타났다.
• 비선형 2차원 확률적 대류-확산-반응 방정식 테스트 케이스는 복잡한 역학 조건 하에서도 스킴의 강건성과 안정성을 입증하였다.
• 스킴은 고유함수 분해를 명시적으로 요구하지 않으며 혼합 경계 조건과 분離 불가능한 노이즈 공분산을 갖는 SPDE를 성공적으로 처리하였다.
• 이론적 분석은 $X(t)$ 가 $H^1(\Omega)$-값을 갖는 과정이며, $F$ 가 리프시츠 조건과 성장 조건을 만족한다고 가정할 경우 수렴성을 확인하였다.