[논문 리뷰] A monotonicity result for the $q-$fractional operator

Bahaaeldin Abdalla, Thabet Abdeljawad외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $0 < \alpha \leq 1$ 이며 $q$-분수적 미분의 단조성 결과를 확립하여, 양의 $q$-분수적 도함수는 함수의 $c_q(\alpha)$-증가 행동을 암시하고, 그 역도 성립함을 증명한다. 또한 $c_q(\alpha)$-단조성 프레임워크를 이용해 $q$-분수적 평균값 정리의 버전을 유도한다.

ABSTRACT

In this article we prove that if the $q-$fractional operator $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)$ of order $00$ is positive such that $y(a) \geq 0$, then $y(t)$ is $c_q(α)-$increasing, $c_q(α)=\frac{1-q^α}{1-q}q^{1-α}$. Conversely, if y(t) is increasing and $y(a)\geq 0$, then $(~_{q} abla_{qa}^αy)(t)\geq 0$. As an application, we proved a $q-$fractional version of the Mean-Value Theorem.

연구 동기 및 목표

• 분수적 미분과 함수 행동 사이의 단조성 관계를 $q$-시간 척도 $T_q$ 상에서 확립하기.
• $c_q(\alpha)$-증가 함수를 정의하고 분석하여 고전적 단조성의 일반화로서 $q$-해석학에서의 의미를 탐색하기.
• 고전적 분수적 해석학 결과, 예를 들어 평균값 정리를 $q$-분수적 설정으로 확장하기.
• 단조성과 적분 항등식을 통한 $q$-분수적 미분방정식의 해법을 위한 이론적 기초 제공하기.

제안 방법

• Caputo 유형의 $q$-분수적 도함수 ${}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t)$ 와 $T_q$ 상에서의 $q$-적분 표현을 사용한다.
• $c_q(\alpha) = \frac{1 - q^\alpha}{1 - q} q^{1 - \alpha}$ 계수를 도입하여 $c_q(\alpha)$-증가 함수를 정의한다.
• $q$-해석학 항등식, 특히 $q$-계승 함수의 곱의 법칙과 나블라 $q$-도함수를 적용한다.
• 기본 정리와 $q$-적분 항등식을 활용하여 $q$-분수적 평균값 정리를 도출한다.
• 유도된 관계 ${}_{q}I_{a}^{\alpha}{}_{q}C_{a}^{\alpha}f(t) = f(t) - f(a)$ 를 사용하여 도함수와 적분 간의 관계를 분석한다.
• 함수에 연산자 ${}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}$ 를 적용하고, $c_q(\alpha)$-단조성 조건 하에서 부호 유지 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 $q$-분수적 도함수가 함수의 $c_q(\alpha)$-증가 행동을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $c_q(\alpha)$-증가 행동은 $0 < \alpha \leq 1$ 에 대해 비음수 $q$-분수적 도함수를 암시하는가?
• RQ3 $c_q(\alpha)$-단조성 프레임워크를 사용하여 $q$-분수적 평균값 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 $q$-분수적 도함수와 초기점 $a$에서의 함수 값 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 $c_q(\alpha)$-계수는 $q$-분수적 해석학에서 단조성 특성화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$ 이고 $y(a) \geq 0$ 이면, $y(t)$ 는 $T_q$ 상에서 $c_q(\alpha)$-증가하다.
• 반대로, $y(t)$ 가 $c_q(\alpha)$-증가하고 $y(a) \geq 0$ 이면, ${}_{q}\nabla_{qa}^{\alpha}y(t) \geq 0$ 이다.
• $q$-분수적 평균값 정리가 성립한다: $ackslash Delta$ 내에 $r_1, r_2$ 가 존재하여 $\frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_1)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_1)} \leq \frac{f(b) - M_q(\alpha,a,b)f(a)}{g(b) - M_q(\alpha,a,b)g(a)} \leq \frac{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}f(r_2)}{{}_{q}\nabla_{aq}^{\alpha}g(r_2)}$ 이다.
• $M_q(\alpha,a,b) = \frac{(1-q)a^{1-\alpha}(b-a)_{q}^{\alpha-1}(1-q)_{q}^{-\alpha}}{\Gamma_q(\alpha)\Gamma_q(1-\alpha)}$ 계수는 일반화된 평균값 정리에 나타나며, $a = 0$ 일 때는 0이 된다.
• $a = 0$ 일 때, $M_q(\alpha,0,b) = 0$ 이므로 평균값 정리는 붕괴하고 표준 형태는 적용되지 않는다.
• $c_q(\alpha)$-단조성 프레임워크는 고전적 단조성을 일반화하며, 이는 이산적 $q$-시간 척도 상에서 $q$-분수적 도함수와 함수 행동 간의 다리 역할을 한다.