[논문 리뷰] A Morse Index Theorem and bifurcation for perturbed geodesics on Semi-Riemannian Manifolds

Monica Musso, Jacobo Pejsachowicz외 1명|ArXiv.org|2003. 11. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 준리만다이만포드에서의 변형 지오데식에 대해 일반화된 모어스 지수 정리를 확립한다. 유한한 모어스 지수 대신 관련된 인덱스 형식의 가중치 흐름을 사용하고, 이는 공액점의 총 서명과 같음을 증명한다. 이 서명은 공액점이 비이sov된 경우에도 정의 가능하다. 결과적으로 이 일반화된 지수는 관련 경로가 리만다이만 그라스만만에서 형성하는 마스로프 지수와 연결된다.

ABSTRACT

Perturbed geodesics are trajectories of particles moving on a semi-Riemannian manifold in the presence of a potential. Our purpose here is to extend to perturbed geodesics on semi-Riemannian manifolds the well known Morse Index Theorem. When the metric is indefinite, the Morse index of the energy functional becomes infinite and hence, in order to obtain a meaningful statement, we substitute the Morse index by its relative form, given by the spectral flow of an associated family of index forms. We also introduce a new counting for conjugate points, which need not to be isolated in this context, and prove that the relative Morse index equals the total number of conjugate points. Finally we study the relation with the Maslov index of the flow induced on the Lagrangian Grassmannian.

연구 동기 및 목표

• 비정규 메트릭으로 인해 표준 모어스 지수가 무한해지는 준리만다이만 다이만포드에서의 변형 지오데식에 대해 고전적 모어스 지수 정리를 확장하기 위해.
• 비정규 경우에 모어스 지수의 의미 있는 대체를 위해, 인덱스 형식의 가중치 흐름을 사용하여 정의하기 위해.
• 공액점이 비이sov된 경우에도 적용 가능한 새로운 공액점 세기 체계를 도입하고, 일반화된 지수가 이러한 공액점의 총 수(중복도 포함)와 같음을 증명하기 위해.
• 일반화된 모어스 지수와 리만다이만 그라스만만에서 유도된 경로의 마스로프 지수 사이의 정확한 관계를 확립하기 위해.
• 일반화된 지수가 작은 정규 p-지오데식의 변형에 대해 불변임을 보여주어 위상적 안정성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 포텐셜 V의 그래디언트와 리만다이만 접속을 포함하는 2차 상미분방정식의 해로서 변형 지오데식을 정의한다.
• p-지오데식을 따라 정의된 벡터장에 대한 자코비 방정식을 도입하여, 두 끝점에서 해가 0이 되는 것으로 공액점을 특성화한다.
• 유한한 모어스 지수를 에너지 함수의 2차 변분과 관련된 연속적인 인덱스 형식의 가중치 흐름으로 대체한다.
• 각 점에서 자코비 장의 상의 직교 여부에 제한된 메트릭의 서명을 사용하여 새로운 공액점 세기 체계를 정의한다.
• 프레임 기반의 교차 형식 계산을 통해 마스로프 지수의 정규 교차점과 정규 공액 순간 사이의 대응관계를 설정한다.
• 가중치 흐름(일반화된 모어스 지수)과 교차 형식의 서명 합의 동치성을 증명하며, 이는 총 공액점 서명과 같다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 메트릭과 비이sov된 공액점이 존재하는 준리만다이만 다이만포드에서의 변형 지오데식에 대해 고전적 모어스 지수 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비정규 메트릭과 비이sov된 공액점이 존재하는 상황에서 모어스 지수의 적절한 위상적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 공액점이 이sov되지 않은 경우에도 일반화된 지수를 공액점과 관련된 이차형식의 서명 합으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 인덱스 형식의 가중치 흐름은 리만다이만 그라스만만에서의 관련 경로의 마스로프 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 일반화된 지수가 작은 정규 p-지오데식의 변형에 대해 불변이며, 정규 경우에 고전적 공액 지수와 일치하는가?

주요 결과

• 가중치 흐름으로 정의된 일반화된 모어스 지수는 유한하며, 작은 p-지오데식의 변형에 대해 불변이다.
• 가중치 흐름은 자코비 장의 상의 직교 여부에 제한된 메트릭의 서명 합으로 정의된 공액점 세기 체계와 같다.
• 모든 공액 순간이 정규일 경우 일반화된 지수는 고전적 공액 지수 $ i_{\text{con}}(\theta) $ 와 일치하며, 기존 결과와의 일致성을 검증한다.
• 가중치 흐름은 리만다이만 그라스만만에서 경로 $ \theta_t = \tilde{\theta}_t(l) $ 의 마스로프 지수와 같다. 이는 깊은 기하학적 연결을 확립한다.
• 정규 공액 순간에서의 교차 형식은 이차형식 $ -\big\bra Jv, v\big\brac $ 와 대응하며, 그 서명은 자코비 장의 상에 제한된 메트릭 형식의 서명과 일치한다.
• 연산자 $ \tilde{\theta}_t $ 의 핵과 $ t $ 에서 자코비 장의 도함수의 상 사이의 동형사상은 서명을 유지하며, 이는 일반화된 지수를 공액점 서명 합과 동일시할 수 있게 한다.