[논문 리뷰] A much larger class of Frolicher spaces than that of convenient vector spaces may embed into the Cahier topos

Hirokazu Nishimura|ArXiv.org|2009. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 'Weil-지수화 가능성' 조건을 만족하는 Frölicher 공간의 더 큰 클래스가 카이어스 토포스에 완전하고 충실한 임베딩을 받을 수 있음을 보여준다. 이 임베딩은 카르테시언-닫힘 구조를 유지하며, 한 추측 하에 성립한다. 이는 이전의 유용한 벡터 공간에 대한 결과를 일반화하고, 더 넓은 범위의 매끄러운 공간으로 합성 미분기하학을 확장한다.

ABSTRACT

It is well known that the category of Frolicher spaces and smooth mappings is Cartesian closed. The principal objective in this paper is to show that the full subcategory of Frolicher spaces that believe in fantasy that every Weil functor is really an exponentiation by the corresponding infinitesimal object is also Cartesian closed. Under the assumption that a conjecture holds, it is shown that these Frolicher spaces embed into the Cahier topos with the Cartesian closed structure being preserved.

연구 동기 및 목표

• 유용한 벡터 공간의 카이어스 토포스에 대한 알려진 임베딩을 더 넓은 범위의 Frölicher 공간으로 일반화한다.
• Weil-지수화 가능이라고 불리는 Frölicher 공간의 범주를 특정하고 특성화한다. 이 범주에서는 모든 Weil 함자가 무한소 대상에 대한 진정한 지수화로 작용한다.
• 이 Weil-지수화 가능 Frölicher 공간의 범주가 카르테시언-닫힘 범주임을 보인다.
• 이 범주를 카이어스 토포스에 완전하고 충실한 임베딩을 통해 통합하며, 유한한 곱과 지수를 유지한다.
• 한 추측을 통해 코크와 레이즈의 유용한 벡터 공간 결과를 훨씬 더 큰 매끄러운 공간의 범주로 일반화한다.

제안 방법

• Weil 대수 $W$에 대해 Frölicher 공간 $X$의 Weil 연장 $X \times W$를 정의하고, 이를 이중함수 $\mathbf{FS} \times \mathbf{W} \to \mathbf{FS}$로 확장한다.
• 모든 Weil 대수 $W$에 대해 함자 $\cdot \otimes W$가 곱을 보존함을 증명하여, 카르테시언-닫힘 구조와의 호환성을 확보한다.
• Weil-지수화 가능 Frölicher 공간에서 $\mathbf{D}$ 위의 프레시브레에로 가는 함자 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$를 도입한다. 여기서 $\mathbf{D}$는 $\mathbb{R}^n$ 위의 $\mathcal{C}^\infty$-대수의 범주이다.
• 카테고리적 동형사상에 의해 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$와 $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$를 포함하는 이sovorphism을 통해 $\mathbf{J}$가 유한한 곱과 지수를 보존함을 보인다.
• $\mathbf{J}$를 자연 임베딩 $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$를 통해 인수화하여 $\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$를 얻는다. 이는 카이어스 토포스이다.
• 임베딩 $\mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$가 곱과 지수를 보존하므로, $\mathbf{J}_\mathcal{C}$는 카르테시언-닫힘 구조를 이어받는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카이어스 토포스에 임베딩되면서도 카르테시언-닫힘 구조를 유지하는 Frölicher 공간의 더 넓은 범주가 존재하는가?
• RQ2 Frölicher 공간에 어떤 조건이 성립하면, 모든 Weil 함수가 무한소 대상에 의한 진정한 지수화로 작용하는가?
• RQ3 이러한 'Weil-지수화 가능' Frölicher 공간의 범주는 여전히 카르테시언-닫힘인가?
• RQ4 Frölicher 공간을 $\mathbf{D}$ 위의 프레시브레에로 보내는 함자 $\mathbf{J}$는 이 맥락에서 곱과 지수와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 추측적 가정 하에 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$의 카이어스 토포스로의 임베딩이 어떤 정도의 카테고리적 구조를 유지하는가?

주요 결과

• Weil-지수화 가능 Frölicher 공간의 범주 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$는 카르테시언-닫힘이며, 이는 이미 알려진 유용한 벡터 공간의 카르테시언-닫힘성의 일반화이다.
• 함자 $\mathbf{J}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathbf{Sets}^\mathbf{D}$는 $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, X) \otimes W$와 $\hom_{\mathbf{Sets}^\mathbf{D}}(-, \mathbf{J}(X))$를 포함하는 동형사상으로 유한한 곱과 지수를 보존한다.
• 한 추측 하에, 복합함수 $\mathbf{J}_\mathcal{C}: \mathbf{FS}_{\mathbf{WE}} \to \mathcal{C}$는 $\mathbf{FS}_{\mathbf{WE}}$를 카이어스 토포스에 완전하고 충실한 임베딩을 제공한다.
• 임베딩 $\mathbf{J}_\mathcal{C}$는 카르테시언-닫힘 구조를 유지한다. 즉, 유한한 곱과 지수를 모두 보존한다.
• Weil 연장 $X \otimes W$는 임베딩 하에서 $W$에 관련된 무한소 대상에 대한 지수화에 대응한다.
• 이 결과는 코크와 레이즈의 유용한 벡터 공간의 카이어스 토포스로의 임베딩을 훨씬 더 큰 범위의 Frölicher 공간으로 일반화한다.