[논문 리뷰] A multi-prover interactive proof for NEXP sound against entangled provers

Tsuyoshi Ito, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 29인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 양자 얽힘을 공유하는 다수의 검증자와 함께 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜을 사용하는 언어의 클래스인 MIP*가 NEXP를 포함함을 증명한다—비결정적 지수 시간 내에 결정 가능한 문제의 클래스이다. 저자들은 고전적 인터랙티브 프로토콜 시스템의 핵심 요소인 다중선형성 테스트가 양자 얽힘을 공유하는 검증자들 사이에서도 여전히 타당함을 입증함으로써, 양자 얽힘이 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜의 계산 능력을 약화시키지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove a strong limitation on the ability of entangled provers to collude in a multiplayer game. Our main result is the first nontrivial lower bound on the class MIP* of languages having multi-prover interactive proofs with entangled provers; namely MIP* contains NEXP, the class of languages decidable in non-deterministic exponential time. While Babai, Fortnow, and Lund (Computational Complexity 1991) proved the celebrated equality MIP = NEXP in the absence of entanglement, ever since the introduction of the class MIP* it was open whether shared entanglement between the provers could weaken or strengthen the computational power of multi-prover interactive proofs. Our result shows that it does not weaken their computational power: MIP* contains MIP. At the heart of our result is a proof that Babai, Fortnow, and Lund's multilinearity test is sound even in the presence of entanglement between the provers, and our analysis of this test could be of independent interest. As a byproduct we show that the correlations produced by any entangled strategy which succeeds in the multilinearity test with high probability can always be closely approximated using shared randomness alone.

연구 동기 및 목표

• 다수의 검증자 간에 공유되는 얽힘이 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜 시스템의 계산 능력을 강화하는지 또는 약화시키는지에 대한 근본적인 열린 질문을 해결하기 위해.
• MIP*의 복잡도 클래스에 비트리버스한 하한을 설정하여, 이 클래스가 NEXP를 포함함을 입증함으로써 고전적 MIP = NEXP 결과를 양자 환경에서 얽힘을 고려한 것으로 확장하기 위해.
• 양자 얽힘 하에서 다중선형성 테스트의 강건성을 분석하여, 검증자들이 얽힌 전략을 사용할 경우에도 여전히 타당함을 증명하기 위해.
• 다중선형성 테스트에서 높은 확률로 성공하는 모든 얽힌 전략은 공유된 난수만을 사용하여 근사적으로 표현될 수 있음을 보여주어, 이는 고전적 시뮬레이션 가능성의 한 형태를 의미한다.
• 양자 복잡도 이론의 기초를 다지기 위해, 이 맥락에서 얽힘이 고전적 증명 체계의 타당성을 감소시키지 않음을 입증하기 위해.

제안 방법

• Babai, Fortnow, 및 Lund(1991)의 고전적 다중선형성 테스트를 얽힌 검증자를 고려한 양자 환경으로 일반화하여, 얽힘 하에서도 타당함을 증명한다.
• 유한체 위의 선형 함수형의 구조에 기반하여, 얽힌 전략 하에서의 성공 확률을 제한하는 새로운 다중선형성 테스트 분석 기법을 사용한다.
• 편향 근사 기법을 적용하여, 고도의 확률로 성공하는 모든 얽힌 전략은 공유된 난수로만 달성 가능한 상관관계에 매우 가까워야 함을 보여준다.
• 검증자가 다항식 시간 알고리즘을 사용하여 함수에 대한 편향된 확률 공간을 생성하는 프로토콜을 구성함으로써, 얽힘 하에서도 타당성 분석이 가능하도록 한다.
• 불리안 회로의 산술화 및 낮은 편향 확률 공간의 구축을 활용하여, 양자 검증자를 사용한 다중선형성 테스트를 시뮬레이션한다.
• 얽힌 전략 하에서도 다중선형성 테스트의 타당성과 관련 프로토콜의 완전성의 조합을 통해 완전한 완전성과 유한한 타당성 오차를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜 시스템에서 검증자 간에 공유되는 얽힘이 시스템의 계산 능력을 강화하는지 또는 약화시키는가?
• RQ2 고전적 인터랙티브 프로토콜 시스템의 기초가 되는 다중선형성 테스트가 검증자들이 얽힘을 공유할 수 있는 경우에도 여전히 타당한가?
• RQ3 다중선형성 테스트에서 얽힌 검증자들이 생성하는 상관관계는 고전적 공유 난수로 근사할 수 있는가?
• RQ4 얽힘 하에서 MIP* 복잡도 클래스에 대한 최소 하한은 무엇이며, 이는 NEXP를 포함하는가?
• RQ5 검증자들이 양자적으로 얽혀 있을 경우에도 고전적 인터랙티브 프로토콜 시스템의 타당성은 유지되는가?

주요 결과

• MIP*는 NEXP를 포함한다. 이는 얽힌 검증자를 사용하는 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜이 고전적 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜과 동일하거나 더 강력함을 의미한다.
• 다중선형성 테스트는 검증자들이 얽힌 전략을 사용할 경우에도 여전히 타당함을 유지한다. 이는 얽힘이 이 테스트에서 사기 행위를 가능하게 하지 않음을 보여주는 핵심 기술적 기여이다.
• 다중선형성 테스트에서 높은 확률로 성공하는 모든 얽힌 전략은 공유된 고전적 난수만으로도 밀접하게 근사될 수 있다. 이는 이 맥락에서 양자 비국소성이 이점을 제공하지 않음을 시사한다.
• 프로토콜의 타당성 오차는 5/8에 더해, 필드 크기에 따라 다항적으로 감소하는 항이 더해져, 임의의 0이 아닌 입력에 대해 프로토콜이 타당함을 보장한다.
• 산술 표현을 통한 함수에 대한 낮은 편향 확률 공간의 구축은 얽힘 하에서도 다중선형성 검증을 가능하게 한다.
• 결과적으로 MIP ⊆ MIP*임을 의미하여, 다수의 검증자 인터랙티브 프로토콜 시스템의 계산 능력이 얽힘으로 인해 감소하지 않음을 보여준다.