[논문 리뷰] A multilinear reverse Hölder inequality with applications to multilinear weighted norm inequalities

David Cruz-Uribe, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 26.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $m$-튜플의 $A_\infty$ 가중치에 대한 다중선형 역 헬더 부등식을 수립한다. 각 가중치 $w_i$가 지수 $s_i$에 대해 역 헬더 조건을 만족하고 $\sum 1/s_i = 1$일 경우, 그 평균 거듭제곱 평균의 곱이 곱 $\prod w_i$의 평균에 점별 지배당함을 증명한다. 이 결과는 다중선형 $A_{\vec{p}}$ 가중치에 대한 구조 정리와 다중선형 최대 연산자에 대한 두 가중치 노름 부등식의 새로운 충분 조건을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this note we prove a multilinear version of the reverse Hölder inequality in the theory of Muckenhoupt $A_p$ weights. We give two applications of this inequality to the study of multilinear weighted norm inequalities. First, we prove a structure theorem for multilinear $A_{\vec{p}}$ weights; second, we give a new sufficient condition for multilinear, two-weight norm inequalities for the maximal operator.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 역 헬더 부등식을 $m$-튜플의 가중치를 포함하는 다중선형 설정으로 확장하기 위해.
• 다중선형 최대 연산자에 대한 두 가중치 노름 부등식의 충분 조건을 설정하기 위해.
• 다중선형 역 헬더 부등식을 사용하여 다중선형 $A_{\vec{p}}$ 가중치에 대한 구조 정리를 제공하기 위해.
• 가중치에 대해 $A_\infty$ 조건이 성립할 때 $S_{\vec{p}}$ 테스팅 조건의 충분성에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 이전 연구에서 얻어진 무게의 스케일링 성질을 활용하여 다중선형 역 헬더 부등식을 유도하기 위해.
• 가중치 $w_i \in RH_{s_i}$ 이면 $w_i^{s_i} \in A_\infty$ 임을 이용하여 $w_i^{s_i}$에 대해 역 헬더 부등식을 적용하기 위해.
• 지수 $s_i$가 $\sum 1/s_i = 1$ 를 만족하도록 다중선형 헬더 부등식을 사용하여 평균의 곱을 제어하기 위해.
• $A_2$ 조건과 헬더 부등식을 두 번 사용하여 가중 평균을 곱의 기하 평균과 연결하기 위해.
• $w \mapsto w^s$ 변환을 통한 $A_p$ 및 $RH_s$ 클래스 간의 쌍대성 관계를 적용하기 위해.
• 결과를 활용하여 $\sigma_i \in A_\infty$ 일 때 $S_{\vec{p}}$ 테스팅 조건이 두 가중치 부등식에 충분함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역 헬더 부등식은 $\sum 1/s_i = 1$ 를 만족하는 다중선형 가중치에 대해 확장될 수 있는가?
• RQ2 이러한 조건 하에서 $m$-튜플의 $A_{\vec{p}}$ 가중치는 어떤 구조적 성질을 갖는가?
• RQ3 $\sigma_i$ 가 $A_\infty$ 에 속할 때 $S_{\vec{p}}$ 테스팅 조건은 두 가중치 노름 부등식에 충분한가?
• RQ4 다중선형 역 헬더 부등식은 다중선형 최대 연산자에 대한 두 가중치 노름 부등식을 암시하는가?

주요 결과

• 다중선형 역 헬더 부등식이 성립한다: $w_i \in RH_{s_i}$ 이고 $\sum 1/s_i = 1$ 이면, $\prod_{i=1}^m \left( \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q w_i^{s_i} \right)^{1/s_i} \leq C \mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-4.86108pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-3.25pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-2.29166pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-1.875pt}}\!\int_Q \prod_{i=1}^m w_i \, dx$ 이다.
• 만약 $w \in A_p$ 이고 $w^{1-p'} \in A_\infty$ 이면 $w \in A_p$ 이며, 이는 알려진 $A_p$ 특성의 다중선형 일반화이다.
• $\sigma_i \in A_\infty$ 이면 $S_{\vec{p}}$ 조건은 두 가중치 노름 부등식 $\|\mathcal{M}(\vec{f}\sigma)\|_{L^p(u)} \leq C \prod \|f_i\|_{L^{p_i}(\sigma_i)}$ 에 대해 충분하다.
• 다중선형 역 헬더 부등식은 $\sigma_i \in A_\infty$ 가 성립하면 다중선형 역 헬더 조건 (1.5)가 충족됨을 암시하며, 이는 두 가중치 부등식에 충분하다.
• 이 결과는 $\sigma_i \in A_\infty$ 일 때 다중선형 설정에서 열린 문제를 해결하는 새로운 두 가중치 부등식의 충분 조건을 제공한다.