[논문 리뷰] A multiplicity result for nonlocal problems involving nonlinearities with bounded primitive

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 07.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비국소 타원 문제에 대해 비선형성의 원시함수가 유계임을 가정할 때, 비선형성의 매개변수 의존성이 애매한 경우에 비판점 정리(문헌[2]의 정리 A)를 새로운 방식으로 적용하여, 적어도 세 개의 약한 해가 존재함을 보인다. 이는 $ H^1_0(\Omega) $에서 작은 노름을 가진 해들이 큰 매개변수 값에서 존재함을 보장하며, 비선형성과 비국소 계수에 대한 조건을 만족할 경우에 성립한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to provide the first application of Theorem 3 of [2] in a case where the dependence of the underlying equation from the real parameter is not of affine type.

연구 동기 및 목표

• 비국소 PDE에서 매개변수 의존성이 애매한 경우에 문헌[2]의 정리 A가 적용된 사례가 부족한 문제를 해결한다.
• 원시함수가 유계인 비선형성을 포함하는 비국소 문제에 대해 다중성 결과를 수립한다.
• 비선형성의 매개변수 의존성이 애매한 비국소 PDE에 대해 추상적 비판점 정리의 적용 가능성을 확장한다.
• 강제성과 컴act성 조건을 만족할 때 다수의 약한 해 존재성을 보장하는 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 원시함수를 포함한 유리형 비선형성을 가진 구체적인 예를 통해 방법을 시연한다.

제안 방법

• 비선형성에서 매개변수가 비선형적으로 나타나는 비선형 매개변수 의존성 기반의 기능적 프레임워크에 대해 [2]의 정리 A를 적용한다.
• 비판점이 약한 해가 되는 기능적 $ \tilde{\Psi}(u,\lambda) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) - \int_\Omega G(x,u)dx - \mu H\left(\int_\Omega F(x,u)dx - \lambda\right) $을 정의한다.
• 함수 $ k $, $ h $, $ f $, $ g $ 에 대해 조건을 부과한다: $ t>0 $ 에서 $ k $ 는 연속적이고 양수이며, $ h $ 는 연속적이고 비감소적이며 $ h^{-1}(0) = \{0\} $ 이고, $ \sup |F|, \sup |G| < \infty $ 이다.
• 기능적 $ \psi(u) = \frac{1}{2}K(\|u\|^2) $ 의 도함수의 연속적 역함수 존재성을 이용하여 팔라이스-스무스 조건을 확보한다.
• 편미분항 $ \mu H(\cdot - \lambda) $ 를 포함한 정리 B의 변종을 적용하여 엄밀한 부등식 조건을 통해 세 개의 해 존재를 보장한다.
• 해 다중성의 성립 조건이 되는 임계값 $ \theta^* $ 가 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문헌[2]의 정리 A는 비선형 매개변수 의존성 문제에 비국소 PDE에 적용될 수 있는가?
• RQ2 원시함수가 유계인 비선형성을 포함하는 비국소 타원 문제에서 적어도 세 개의 약한 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 매개변수 의존성이 비선형일 경우 다중성 결과에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 강제성과 컴팩턴스 조건이 $ H^1_0(\Omega) $ 에서 어떻게 확보될 수 있는가?
• RQ5 해 다중성의 임계값을 결정하는 기능적 $ \theta^* $ 의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $ \mu > \theta^* $ 에 대해, $ A \subseteq ]\alpha_f, \beta_f[ $ 인 열린 구간 $ A $ 가 존재하여, 모든 $ \lambda \in A $ 에 대해 문제는 $ H^1_0(\Omega) $ 에 적어도 세 개의 약한 해를 가진다.
• 약한 해들은 $ \lambda \in A $ 에 대해 일관되게 유계인 $ \rho > 0 $ 이하의 노름을 가진다.
• 기능적 $ \theta^* $ 는 $ F(x,u(x)) $ 의 적분이 0이 아닌 함수들에 대한 하한으로 정의되며, 결과가 성립하기 위해 음이 아닌 값이어야 한다.
• 결과는 $ \sup_{\xi \in \mathbb{R}} |F(\xi)| < \infty $ 를 만족하는 비선형성 $ f $ 에 대해 적용되며, $ F(\xi) = \int_0^\xi f(s)ds $ 이고 $ f $ 는 클래스 $ \mathcal{A} $ 에 属한다.
• 특히 $ h(s) = \frac{s}{(\text{meas}(\Omega)\text{osc}_\mathbb{R}F)^2 - s^2} $ 인 유리형 비선형성을 포함한 구체적인 예가 구성되었으며, 이는 방법이 유리형 비선형성에도 적용 가능함을 보여준다.
• 이 방법은 비선형 매개변수 의존성에 대한 정리 A의 첫 번째 적용 사례를 제공함으로써 문헌의 빈도를 메운다.