[논문 리뷰] A multiscale quasilinear system for colloids deposition in porous media: Weak solvability and numerical simulation of a near-clogging scenario

Michael Eden, Christos Nikolopoulos외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 07.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 45인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 미세구조가 변화하는 다孔성 매질에서 콜로이드 입자의 확산, 응집, 분해 및 침착을 다중 척도 비선형 시스템으로 모델링한다. 슈라우드의 고정점 정리에 기반한 약한 해법 프레임워크를 사용하여 해의 존재성을 입증하고, 수치 시뮬레이션을 통해 입자 침착으로 인한 점진적 막힘을 제시하며, 미세구조 반경이 증가할수록 효율적 확산도가 감소하는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study the weak solvability of a quasilinear reaction-diffusion system nonlinearly coupled with an linear elliptic system posed in a domain with distributed microscopic balls in $2D$. The size of these balls are governed by an ODE with direct feedback on the overall problem. The system describes the diffusion, aggregation, fragmentation, and deposition of populations of colloidal particles of various sizes inside a porous media made of prescribed arrangement of balls. The mathematical analysis of the problem relies on a suitable application of Schauder's fixed point theorem which also provides a convergent algorithm for an iteration method to compute finite difference approximations of smooth solutions to our multiscale model. Numerical simulations illustrate the behavior of the local concentration of the colloidal populations close to clogging situations.

연구 동기 및 목표

• 다孔성 매질에서 콜로이드 이동과 미세구조 진화를 모델링하는 비선형, 이중 척도 시스템에 대한 약한 해의 존재성을 확립하기.
• 입자 확산과 반응이 효과적 확산 계수에 반경에 따라 의존하는 함수로 변화하는 미세구조와 비선형적으로 연결된 연계 시스템을 분석하기.
• 입자 침착에 의해 구동되는 ODE에 의해 진화하는 원형 포함 구조를 가진 2차원 다孔성 매질에서의 근접 막힘 시나리오를 시뮬레이션하기.
• 매끄러운 해의 수치 근사에 대해 고정점 추론 기반 수렴하는 유한 차분 스킴을 제공하기.
• 콜로이드 침착에 의해 유도되는 미세구조 변화가 확산도 감소와 국소적 막힘 패턴을 어떻게 초래하는지 설명하기.

제안 방법

• 두 척도 시스템을 수립: 콜로이드 응집체의 몰 농도(ui)를 위한 비선형 편미분방정식(PDE), 그리고 미세구조 포함 구조의 반경 r을 위한 상미분방정식(ODE).
• 주기적인 단위 세포 내 원형 장애물(반경 r)을 고려한 셀 문제를 통해 효과적 확산 Di(r)를 모델링하며, 비틀림도와 투과성 변화를 반영한다.
• 역행성 흡착/탈착을 모델링하기 위해 로빈형 교환 항을 포함하며, 유량은 (aiui − βiv)에 비례한다.
• 다양한 크기의 콜로이드 입자 간의 응집 및 분해 과정을 기술하기 위해 스몰وخ프스키 방정식을 적용한다.
• 다공도 및 반경에 대한 비퇴도 조건을 가정하여 슈라우드의 고정점 정리를 적용해 연계 시스템의 약한 해법 존재성을 증명한다.
• 다중 척도 구조를 유지하는 시간 및 공간 이산화를 포함한 이중 척도 유한 차분 스킴을 구현해 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다孔성 매질에서 변화하는 미세구조와 연계된 비선형 다중 척도 시스템에 대해 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 효율적 확산 계수 Di(r)는 변화하는 미세구조 포함 구조의 반경 r에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 입자 침착의 수치적 영향은 2차원 다孔성 매질에서 국소적 확산도와 막힘 패턴에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 시스템은 미세구조 성장에 의해 초기 입자 이동에서 점진적 막힘으로의 전이를 포착할 수 있는가?
• RQ5 초기 미세구조 반경의 공간 분포는 막힘의 발달과 확산도 감소에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다공도 및 미세구조 반경에 대한 비퇴도 조건 하에서 제안된 다중 척도 비선형 시스템에 대해 약한 해가 존재한다.
• 슈라우드의 고정점 정리에 기반한 수치 스킴은 매끄러운 해에 대해 수렴하는 유한 차분 근사를 제공한다.
• 시뮬레이션 결과, 미세구조 반경 r이 증가할수록 효율적 확산도가 감소하며, 저확산 영역이 시간이 지남에 따라 확장됨을 보여준다.
• 막힘은 공간적으로 비균일하다: 초기 반경 r이 높은 영역는 더 빠르게 성장하여 저확산도 및 고농도 입자 영역이 국소적으로 형성된다.
• r가 큰 영역에서는 효과적 확산도 D(x,t)가 크게 감소하며, 등고선도 r 분포와 반대 패턴을 보인다.
• u1 및 v의 농도 프로파일은 시간에 따라 축적되며, u1은 r이 크고 D가 낮은 영역에서 피크를 보이며, 침착에 의해 유도된 막힘을 나타낸다.